問題
空間内の4点がをみたしている．この4点から等距離にある点をとする．線分の長さを求めよ．
出典：大阪大学 2005年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第3問
方針
等距離条件は、点 を中心とする球が を通るという条件であり、内積で線形条件に直せる。 を原点とし、 を使って を表す。 などを展開して 、、 を求め、連立一次方程式で係数を決める。別解として、条件に合う座標を置いて垂直二等分平面の交点を求める方法も自然である。
解答
を原点とし、
とおく。条件より である。また角の条件から
である。 は から等距離にあるから、 である。例えば なので、 から が得られる。同様にして
である。
ここで とおく。内積の値を用いると、
となる。第1式から 、第3式から である。これを第2式に代入すると すなわち である。これと を引き比べると であり、、 となる。したがって である。
よって
したがって である。
別解。座標を置いて求める。、、 とおく。、 より の 座標は であり、 より の 座標は である。したがって、向きを選べば とできる。 とする。 より だから である。また より だから である。さらに より である。、 を代入すると となり、整理して を得る。よって となり、同じく である。