問題
とおく．直線が曲線と相異なる3点で交わるような実数の範囲を求めよ．
出典：大阪大学 2005年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第1問
方針
交点では が起こらないので、 として、原点と曲線上の点を結ぶ傾きの取り得る値を調べる。 側では で最小値 をとり、 側では から へ単調増加する。したがって負の側に2点、正の側に1点をもつ条件を読む。別解として、三次方程式 の極値の符号からも同じ境界 を確認する。
解答
直線と曲線の交点では が成り立つ。ここで を代入すると左辺は 、右辺は となるため、 は交点の 座標ではない。したがって として割ることができ、 である。
右辺を とおく。すると である。 の判別式は であり、先頭係数が正なので常に正である。したがって の符号は の符号だけで決まる。
よって は で減少し、 および で増加する。また
である。
したがって、 では のときに2個、 のときに1個、 のときに0個の解をもつ。一方、 では任意の実数 に対して1個の解をもつ。相異なる3点で交わるには、負の側で2点、正の側で1点が必要なので、求める範囲は である。
別解。三次方程式の増減から判定する。 とおくと である。 が相異なる3つの実数解をもつには、三次関数の左側の極値が正、右側の極値が負でなければならない。極値をとる点を とすると より であり、
となる。 だから、左側の極値が正になるには、その位置が であることが必要である。左側の極値の位置は なので、 は 、すなわち と同値である。
逆に のときは であり、さらに で 、 で である。よって中間値の定理により 、、 にそれぞれ解が存在する。三次方程式なので解は高々3個であり、相異なる3点で交わる。したがって条件はやはり である。