大阪大学 2005年度後期・理系数学後期第5問解答・解説

問題

実数全体で微分可能で $f^{'}$ が連続な関数 $f$ は、 $x = 1/4$ で極大値 $2/3$ 、 $x = 1/2$ で極小値 $- 1/6$ 、 $x = 3/4$ で極大値1をとり、他では極値をとらない。また $f (0) = f (1) = 1/3$ 、 $x \to \pm \infty$ で $f (x) \to 0$ とする。

(1) $f$ の概形を $- 1 < x < 3$ で描け。

(2) $F (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t$ の概形を $0 ≦ x ≦ 1$ で描け。

(3) $F^{''} (1/4)$ を求めよ。

出典：大阪大学 2005年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第5問

方針

(1)は指定された極大・極小と両端の極限から増減を決める。(2)は $F^{'} = f, F^{''} = f^{'}$ を用い、 $f$ の2つの零点で $F$ の増減が変わり、 $f$ の3つの極値点で $F$ の凹凸が変わることを反映する。(3)は極大点で $f^{'} = 0$ を使う。

解答

(1)

極値の並びと他に極値がないことから、 $f$ は

(- \infty, 1/4) で増加, (1/4, 1/2) で減少, (1/2, 3/4) で増加, (3/4, \infty) で減少

する。指定された値と極限を通る概形は次の通りである。

(2)

単調性と値から、 $f (x) = 0$ は $1/4 < α < 1/2$ 、 $1/2 < β < 3/4$ にそれぞれ1つある。 $F^{'} = f$ だから $F$ は $[0, α]$ で増加、 $[α, β]$ で減少、 $[β, 1]$ で増加する。また $F^{''} = f^{'}$ だから、凹凸は $x = 1/4, 1/2, 3/4$ で順に変わる。したがって概形は次のようになる。

(3)

微積分学の基本定理から

F^{'} (x) = f (x), F^{''} (x) = f^{'} (x) .

$x = 1/4$ は微分可能な $f$ の極大点なので $f^{'} (1/4) = 0$ である。したがって

F^{''} (\frac{1}{4}) = 0.

大阪大学 2005年度後期・理系数学 後期 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

大阪大学 2005年度
後期・理系数学後期第5問