大阪大学 2005年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

前半に103回以上硬貨を投げ、表の割合は小数第4位を四捨五入して0.510となった。後半200回では表が99回で、全体の表の割合はちょうど0.5となった。前半の試行回数を求めよ。

出典：大阪大学 2005年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

前半の試行回数を $N$ 、表の回数を $H$ とする。全体の割合0.5から $H / N = 1/2 + 1/ N$ を得る。丸め条件を区間で表して $N$ を3候補に絞り、 $H$ が整数になる偶奇条件で決定する。

前半の試行回数を $N$ 、表の回数を $H$ とする。全体の表の割合が $1/2$ だから

\frac{H + 99}{N + 200} = \frac{1}{2} .

よって

N = 2 H - 2, \frac{H}{N} = \frac{1}{2} + \frac{1}{N} .

小数第4位を四捨五入して0.510となる条件は

0.5095 ≦ \frac{H}{N} < 0.5105.

したがって

0.0095 ≦ \frac{1}{N} < 0.0105.

これと $N ≧ 103$ から

N = 103, 104, 105

に限られる。一方 $H = (N + 2) /2$ は整数なので $N$ は偶数でなければならない。よって

N = 104.

実際 $H = 53$ で、 $53/104 = 0.509615 \dots$ は指定どおり0.510に丸められる。