大阪大学 2005年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

$∣ z ∣ = 1$ の点 $z$ が円周上を1周するとき、 $w = 22 z - z^{2}$ の軌跡が虚軸と交わる回数を求めよ。

出典：大阪大学 2005年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

$z = cos θ + i sin θ$ と置く。虚軸上にある条件は $w$ の実部が0であることなので、 $c = cos θ$ の2次方程式へ直し、 $[- 1, 1]$ に入る根と各根に対応する角の個数を数える。

$z = cos θ + i sin θ$ とおく。 $w$ の実部は

Re w = 22 cos θ - cos 2 θ .

これが0となる条件を $c = cos θ$ で表すと

2 c^{2} - 22 c - 1 = 0.

よって

c = \frac{2 + 2}{2}, c = \frac{2 - 2}{2} .

第1の値は1より大きいので不適である。第2の値は $- 1 < c < 1$ にあり、円を1周する間に

cos θ = \frac{2 - 2}{2}

を満たす角は2つある。この2つでは $sin θ$ の符号が逆であり、 $w$ の虚部

2 sin θ (2 - cos θ)

も互いに逆符号で0ではないから、異なる2点で交わる。したがって交わる回数は

2 回

である。