大阪大学 2005年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

$a, b > 0$ とし、 $C_{1} : y = a x^{2}$ と $C_{2} : y = - a x^{2} + 2 ab x$ で囲まれる領域を $S$ とする。 $S$ を $x$ 軸、 $y$ 軸のまわりに回転してできる体積をそれぞれ $V_{x}, V_{y}$ とするとき、 $V_{x} / V_{y}$ を求めよ。

出典：大阪大学 2005年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

方針

2曲線の交点は $x = 0, b$ である。 $x$ 軸回転は円環の面積を $x$ で積分する。 $y$ 軸回転は水平断面を使い、2曲線を $x$ について解いて外半径と内半径を求める。

解答

2曲線の交点は

a x^{2} = - a x^{2} + 2 ab x

より $x = 0, b$ である。 $0 ≦ x ≦ b$ では $C_{2}$ が上側にあるから

V_{x} = π \int_{0}^{b} {(- a x^{2} + 2 ab x)^{2} - (a x^{2})^{2}} d x = 4 π a^{2} b \int_{0}^{b} x^{2} (b - x) d x = \frac{π a ^{2} b ^{5}}{3} .

次に $y$ 軸のまわりの回転を考える。 $0 ≦ y ≦ a b^{2}$ で、領域の右端は $C_{1}$ 上の $x = y / a$ 、左端は $C_{2}$ 上の

x = b - b^{2} - \frac{y}{a}

である。したがって

V_{y} = π \int_{0}^{a b^{2}} [\frac{y}{a} - {b - b^{2} - \frac{y}{a}}^{2}] d y .

$u = y / a$ とおくと

V_{y} = π a \int_{0}^{b^{2}} {2 u - 2 b^{2} + 2 b b^{2} - u} d u = \frac{π a b ^{4}}{3} .

よって

\frac{V _{x}}{V _{y}} = ab .

大阪大学 2005年度後期・理系数学 後期 第1問

問題

方針

解答

大阪大学 2005年度
後期・理系数学後期第1問