大阪大学 2005年度後期・理系数学後期第4問解答・解説

問題

$x y$ 平面上の原点中心・半径2の円 $C$ と、点 $(0, 1, 0)$ を通り $(1, 1, - 2)$ に平行な直線 $l$ がある。 $l$ 上の動点 $P$ から最短距離にある $C$ 上の点を $Q$ とする。 $P$ が $l$ 全体を動くときの $Q$ の範囲を図示せよ。

出典：大阪大学 2005年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第4問

$P = (t, 1 + t, - 2 t)$ 、 $Q = (x, y, 0)$ と置く。距離の二乗を展開すると、固定した $t$ では $t x + (1 + t) y$ を最大にする円周上の点が $Q$ である。コーシー・シュワルツの等号条件から $Q$ を明示し、 $t$ を消去する。

直線 $l$ 上の点を

P = (t, 1 + t, - 2 t)

とし、円周上の点を $Q = (x, y, 0)$ 、 $x^{2} + y^{2} = 4$ とする。距離の二乗は

P Q^{2} = 6 t^{2} + 2 t + 5 - 2 {t x + (1 + t) y} .

したがって固定した $t$ に対し、 $P Q$ を最小にするには $t x + (1 + t) y$ を最大にすればよい。コーシー・シュワルツの等号条件から

Q = \frac{2}{t ^{2} + ( 1 + t ) ^{2}} (t, 1 + t, 0) .

よって常に

y - x = \frac{2}{t ^{2} + ( 1 + t ) ^{2}} > 0.

逆に、円周上で $y > x$ を満たす点 $(x, y, 0)$ に対し

t = \frac{x}{y - x}

とおけば、上の式でその点が得られる。したがって $Q$ の動く範囲は

x^{2} + y^{2} = 4, y > x

を満たす開いた半円周である。端点 $(2, 2, 0), (- 2, - 2, 0)$ は含まれない。