大阪大学 2004年度
理系数学 第5問

解答

(1)

$s=\sin \theta ,c=\cos \theta$ とおく。$0<\theta <\pi /2$ より $s>0,c>0$ である。

まず領域 $D$ 内の2つの円を考える。$C_1$ は $y$ 軸に接する半径 $R$ の円なので、その中心を $(R,y_1)$ とおく。$C_1$ は直線 $l:sx+cy=1$ にも接し、領域 $D$ 側にあるから、中心から直線までの距離が $R$ であることは $sR+c{y}_1-1=R$ と表せる。したがって $y_1=\frac{1+R(1-s)}{c}$ である。同様に、$C_2$ の中心を $(x_2,R)$ とおくと $s{x}_2+cR-1=R$ より $x_2=\frac{1+R(1-c)}{s}$ である。さらに $C_1,C_2$ は外接するので $(x_2-R{)}^2+(R-y_1{)}^2=4R^2$ である。

次に領域 $D^{\prime }$ 内の2つの円を考える。今度は直線の反対側にあるので、中心と直線の距離条件は符号が反対になる。${C_1}^{\prime }$ の中心を $(r,y_1^{\prime })$、${C_2}^{\prime }$ の中心を $(x_2^{\prime },r)$ とすると、$y_1^{\prime }=\frac{1-r(1+s)}{c},x_2^{\prime }=\frac{1-r(1+c)}{s}$ であり、外接条件は $(x_2^{\prime }-r{)}^2+(r-y_1^{\prime }{)}^2=4r^2$ である。

ここで $u=\tan \frac{\theta }{2}$ とおく。$0<\theta <\pi /2$ だから $0<u<1$ であり、半角公式より $s=\frac{2u}{1+u^2},c=\frac{1-u^2}{1+u^2}$ である。これを上の2つの外接条件に代入して整理する。$D$ 側については正の半径を選ぶと $R=\frac{(1+u^2{)}^2}{2u(1-u)(u^2+2u+3)}$ である。$D^{\prime }$ 側についても、領域内にある正の半径を選ぶと $r=\frac{(1+u^2{)}^2}{2(1+u)(1+2u-u^2)}$ である。したがって $\frac{r}{R}=\frac{u(1-u)(u^2+2u+3)}{(1+u)(1+2u-u^2)}$ である。すなわち

である。

(2)

$F(u)=\frac{u(1-u)(u^2+2u+3)}{(1+u)(1+2u-u^2)}$ とおく。$0<u<1$ では $1+u>0,1+2u-u^2>0$ であるから、分母は正である。

微分して整理すると $F^{\prime }(u)=\frac{(1+u^2)(u^2-4u-3)(u^2+2u-1)}{(1+u{)}^2(1+2u-u^2{)}^2}$ である。$0<u<1$ では $1+u^2>0,u^2-4u-3<0$ であり、分母も正である。したがって増減を決めるのは $u^2+2u-1$ の符号である。 $u^2+2u-1=0$ の $0<u<1$ にある解は $u=\sqrt{2}-1$ である。よって $F(u)$ は $0<u<\sqrt{2}-1$ で増加し、$\sqrt{2}-1<u<1$ で減少する。したがって最大値は $u=\sqrt{2}-1$ で生じる。

このとき計算すると $F(\sqrt{2}-1)=\sqrt{2}-1$ である。また ${\lim }_{u\to 0+}F(u)=0,{\lim }_{u\to 1-}F(u)=0$ であり、端点 $u=0,1$ は $0<\theta <\pi /2$ に含まれない。したがって $r/R$ の取り得る値の範囲は $0<\frac{r}{R}\leqq \sqrt{2}-1$ である。