大阪大学 2004年度理系数学第1問解答・解説

問題

$n$ を自然数とする．

(1) $n$ 個の複素数 $z_{k}$ $(k = 1, 2, \dots, n)$ が $0 ≦ ar g z_{k} ≦ \frac{π}{2}$ をみたすならば，不等式 $∣ z_{1} ∣^{2} + ∣ z_{2} ∣^{2} + \dots + ∣ z_{n} ∣^{2} ≦ ∣ z_{1} + z_{2} + \dots + z_{n} ∣^{2}$ が成り立つことを示せ．

(2) $n$ 個の実数 $θ_{k}$ $(k = 1, 2, \dots, n)$ が $0 ≦ θ_{k} ≦ \frac{π}{2}$ かつ $cos θ_{1} + cos θ_{2} + \dots + cos θ_{n} = 1$ をみたすならば，不等式 $n - 1 ≦ sin θ_{1} + sin θ_{2} + \dots + sin θ_{n}$ が成り立つことを示せ．

出典：大阪大学 2004年度前期日程第2次学力試験理系第1問

方針

(1)では $z_{k} = x_{k} + y_{k} i$ と置く。偏角が第1象限内にあるので $x_{k}, y_{k} ≧ 0$ であり、和の絶対値の2乗を展開すると交差項 $x_{j} x_{k} + y_{j} y_{k}$ がすべて非負になる。(2)では $z_{k} = cos θ_{k} + i sin θ_{k}$ と置くと $∣ z_{k} ∣ = 1$ で、実部の和が条件により1になる。(1)を適用して $n ≦ ∣ \sum z_{k} ∣^{2} = 1 + (\sum sin θ_{k})^{2}$ を得る。正弦の和は非負なので平方根を取れる。

解答

(1)

$z_{k} = x_{k} + y_{k} i$ とおく。 $0 ≦ ar g z_{k} ≦ π /2$ であるから、 $z_{k}$ は第1象限またはその境界上にあり、 $x_{k} ≧ 0, y_{k} ≧ 0$ である。

このとき

∣ z_{1} + z_{2} + \dots + z_{n} ∣^{2} = (k = 1 \sum n x_{k})^{2} + (k = 1 \sum n y_{k})^{2}

である。右辺を展開すると

∣ z_{1} + \dots + z_{n} ∣^{2} = k = 1 \sum n (x_{k}^{2} + y_{k}^{2}) + 2 1 ≦ j < k ≦ n \sum (x_{j} x_{k} + y_{j} y_{k}) = k = 1 \sum n ∣ z_{k} ∣^{2} + 2 1 ≦ j < k ≦ n \sum (x_{j} x_{k} + y_{j} y_{k}) .

ここで $x_{j}, x_{k}, y_{j}, y_{k}$ はすべて0以上なので、交差項はすべて0以上である。したがって $∣ z_{1} ∣^{2} + ∣ z_{2} ∣^{2} + \dots + ∣ z_{n} ∣^{2} ≦ ∣ z_{1} + z_{2} + \dots + z_{n} ∣^{2}$ である。

(2)

$z_{k} = cos θ_{k} + i sin θ_{k}$ とおく。 $0 ≦ θ_{k} ≦ π /2$ だから、 $0 ≦ ar g z_{k} ≦ π /2$ であり、(1)を適用できる。また $∣ z_{k} ∣ = 1$ である。よって(1)より $n = \sum_{k = 1}^{n} ∣ z_{k} ∣^{2} ≦ ∣ \sum_{k = 1}^{n} z_{k} ∣^{2}$ である。

一方、条件より $\sum_{k = 1}^{n} cos θ_{k} = 1$ であるから、 $\sum_{k = 1}^{n} z_{k} = 1 + i \sum_{k = 1}^{n} sin θ_{k}$ である。したがって

k = 1 \sum n z_{k}^{2} = 1 + (k = 1 \sum n sin θ_{k})^{2}

である。ゆえに $n ≦ 1 + (\sum_{k = 1}^{n} sin θ_{k})^{2}$ となる。 $0 ≦ θ_{k} ≦ π /2$ なので、 $\sum sin θ_{k} ≧ 0$ である。よって平方根を取って $n - 1 ≦ \sum_{k = 1}^{n} sin θ_{k}$ すなわち $n - 1 ≦ sin θ_{1} + sin θ_{2} + \dots + sin θ_{n}$ が成り立つ。

大阪大学 2004年度理系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

大阪大学 2004年度
理系数学第1問