大阪大学 2004年度理系数学第3問解答・解説

問題

$n$ を3以上の自然数とする．点 $O$ を中心とする半径1の円において，円周を $n$ 等分する点 $P_{0}, P_{1}, \dots, P_{n - 1}$ を時計回りにとる．各 $i = 1, 2, \dots, n$ に対して，直線 $O P_{i - 1}$ ， $O P_{i}$ とそれぞれ点 $P_{i - 1}$ ， $P_{i}$ で接するような放物線を $C_{i}$ とする．ただし， $P_{n} = P_{0}$ とする．放物線 $C_{1}, C_{2}, \dots, C_{n}$ によって囲まれる部分の面積を $S_{n}$ とするとき， $n \to \infty lim S_{n}$ を求めよ．

出典：大阪大学 2004年度前期日程第2次学力試験理系第3問

方針

隣り合う2半径のなす角を $2 α$ とし、 $α = π / n$ とする。1つの区画だけを考え、角の二等分線を $x$ 軸、隣り合う接点を $(cos α, \pm sin α)$ に置く。対称性から放物線は $x = A y^{2} + B$ と書ける。接点を通る条件と、接線が半径 $O P_{i}$ と一致する条件から $A, B$ を決める。1区画の面積は、上下対称性で2倍し、半径の直線と放物線の間を積分する。最後に $n$ 倍して極限を取る。

解答

$α = \frac{π}{n}$ とおく。隣り合う2つの半径のなす角は $2 α$ である。1つの区画だけを考え、角の二等分線を $x$ 軸に取ると、2つの接点を $(cos α, sin α), (cos α, - sin α)$ とおける。

この2点でそれぞれ半径に接する放物線は、 $x$ 軸に関して対称である。したがって $x = A y^{2} + B$ と書ける。点 $(cos α, sin α)$ を通るので $cos α = A sin^{2} α + B$ である。

また、この点での接線は半径 $O P_{i}$ と一致する。曲線 $x = A y^{2} + B$ について $\frac{d x}{d y} = 2 A y$ だから、接線の傾きは $\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 A y}$ である。 $y = sin α$ で接線の傾きは $tan α$ なので、 $\frac{1}{2 A s i n α} = tan α$ である。よって $A = \frac{c o s α}{2 s i n ^{2} α}$ であり、先ほどの通過条件から $B = \frac{c o s α}{2}$ である。したがって放物線は $x = \frac{c o s α}{2 s i n ^{2} α} y^{2} + \frac{c o s α}{2}$ である。

この1区画の面積を求める。上半分 $0 ≦ y ≦ sin α$ では、半径の直線は $x = \frac{c o s α}{s i n α} y$ である。放物線はこの直線より右側にあるので、1区画の面積は上下対称性により

2 \int_{0}^{s i n α} (\frac{cos α}{2 sin ^{2} α} y^{2} + \frac{cos α}{2} - \frac{cos α}{sin α} y) d y

である。計算すると

2 [\frac{cos α}{6 sin ^{2} α} y^{3} + \frac{cos α}{2} y - \frac{cos α}{2 sin α} y^{2}]_{0}^{s i n α} = 2 (\frac{sin α cos α}{6} + \frac{sin α cos α}{2} - \frac{sin α cos α}{2}) = \frac{sin α cos α}{3} .

同じ面積の区画が $n$ 個あるので、

S_{n} = n \cdot \frac{sin α cos α}{3} = \frac{n}{6} sin 2 α = \frac{n}{6} sin \frac{2 π}{n}

である。したがって

n \to \infty lim S_{n} = n \to \infty lim \frac{n}{6} sin \frac{2 π}{n} = \frac{π}{3}

である。

大阪大学 2004年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

大阪大学 2004年度
理系数学第3問