問題
素数，に対して によって整数を定める．ただし，とする．
(1) とが1より大きい公約数をもつならば，であることを示せ．
(2) がすべて3の倍数であるような，のうちで積が最小となるものを求めよ．
出典：大阪大学 2004年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第2問
方針
(1)では共通約数 を取り、 から を得る。これを に代入すると となる。 は と互いに素であり、さらに が奇数なので も奇数であることから、 は3だけに限られる。(2)は がすべての で成り立つ条件を として整理し、 のもとで積が最小の素数を探す。
解答
(1)
である。 が と の公約数であるとする。 より であるから、 である。これを に用いると、 より である。
ここで なので、 と は異なる素数である。したがって は で割れず、 である。よって は と互いに素であり、その約数である も と互いに素である。したがって から である。
また かつ より なので、 は奇素数である。 は偶数だから、 は奇数である。よってその約数 も奇数である。 かつ が奇数で だから、 である。
(2)
すべての が3の倍数であるためには、特に が3の倍数でなければならない。 なので、これは と同値である。
逆に、 とする。このとき である。また だから、任意の について である。したがって、すべての が3の倍数である条件は である。
あとは を満たす素数 のうち、 かつ が最小のものを探す。積を小さくするにはまず を小さく見る。 のとき、 であり、さらに だから である。 を満たす素数のうち、これを満たす最小のものは である。
したがって求める組は である。このとき であり、 なら積は少なくとも となるので、これより小さくはならない。