問題
実数，に対し数列をで定める．
(1) すべてのについてとなるようなを求めよ．
(2) ，となるようなの個数を求めよ．
(3) となるすべてのについて が成り立つようなの範囲を求めよ．
出典：大阪大学 2004年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第4問
方針
と置く。(1)は初期値 が固定値であればよいので を解く。(2)は , だから、 の解から固定値 を除く。因数分解すると固定値に対応する因子と2周期に対応する2次因子に分かれるので、その2次方程式の実数解の個数を判別式で調べる。端点 の重解は固定値に一致するため除く。(3)は写像 が区間 を に移す条件を求める。
解答
(1)
すべての について となるためには、最初の1回で となればよい。したがって である。よって または、 のとき である。
(2)
とおく。条件 は であり、さらに は であることを意味する。
計算すると と因数分解される。ここで は(1)で求めた固定値に対応する。したがって を満たす解は の実数解で、固定値と重ならないものに限られる。 のとき、この式は となり解はない。 のとき、この2次方程式の判別式は である。したがって、 または のときは異なる2つの実数解をもつ。 のときは重解 で、これは固定値である。 のときは重解 で、これも固定値である。 では判別式が負で解はない。以上より、求める個数は
である。
(3)
のとき である。すべての について が に入るためには、まず が必要である。また とすると なので、 すなわち も必要である。
逆に なら、任意の に対して である。つまり は区間 を再び に移す。したがって、 なら帰納的に が成り立つ。
よって求める の範囲は である。