大阪大学 2003年度理系数学第5問解答・解説

問題

(1) 平面上において座標軸に平行な主軸(長軸，短軸)をもち， $x$ 軸， $y$ 軸の両方に接する楕円を考える．その中心の $x$ 座標を $a$ とする．このような楕円のうち点 $A (1, 2)$ を通るものが存在するための $a$ の範囲を求めよ．ただし円は楕円の特別な場合とみなすものとする．

(2) (1)の楕円がちょうど2つ存在するような $a$ に対して，その2つの楕円の中心を $B$ ， $C$ とする． $△ A B C$ の面積を $S (a)$ で表すときこの関数のグラフをかけ．

出典：大阪大学 2003年度前期日程第2次学力試験理系第5問

方針

楕円の中心を $(a, c)$ とおき、両座標軸に接する条件から半径方向の長さを $∣ a ∣, ∣ c ∣$ と表す。(1) は点 $(1, 2)$ を通る条件を、 $(2 - c)^{2} / c^{2}$ が非負実数として実現できるかに帰着する。(2) はその値を $v = (2 a - 1) / a^{2}$ とおき、2つの中心の $y$ 座標差から面積 $S (a)$ を求める。最後に定義域を確認し、左右の区間で微分してグラフの概形を決める。

解答

(1)

楕円の中心を $(a, c)$ とおく。座標軸に平行な主軸をもち、 $y$ 軸に接するため、横方向の半径は $∣ a ∣$ である。また $x$ 軸に接するため、縦方向の半径は $∣ c ∣$ である。したがって楕円は $\frac{( x - a ) ^{2}}{a ^{2}} + \frac{( y - c ) ^{2}}{c ^{2}} = 1$ と書ける。ただし $a \neq = 0$ 、 $c \neq = 0$ である。

この楕円が点 $A (1, 2)$ を通る条件は $\frac{( 1 - a ) ^{2}}{a ^{2}} + \frac{( 2 - c ) ^{2}}{c ^{2}} = 1$ である。ここで第2項は常に0以上である。また任意の $w ≧ 0$ に対して $\frac{( 2 - c ) ^{2}}{c ^{2}} = w$ を満たす実数 $c \neq = 0$ は存在する。実際、 $w ≧ 0$ として $\frac{2 - c}{c} = \pm w$ とおけばよく、少なくとも一方から $c = \frac{2}{1 \pm w}$ が得られる。

したがって、点 $A$ を通る楕円が存在するための必要十分条件は $1 - \frac{( 1 - a ) ^{2}}{a ^{2}} ≧ 0$ である。これは $(1 - a)^{2} ≦ a^{2}$ と同値であり、整理すると $1 - 2 a ≦ 0$ である。よって $a ≧ \frac{1}{2}$ である。

(2)

(1) の式で $v = 1 - \frac{( 1 - a ) ^{2}}{a ^{2}} = \frac{2 a - 1}{a ^{2}}$ とおく。点 $A$ を通る楕円がちょうど2つ存在するには、方程式 $\frac{( 2 - c ) ^{2}}{c ^{2}} = v$ が $c$ についてちょうど2つの解をもてばよい。

(1) より存在には $a ≧ 1/2$ が必要である。 $a = 1/2$ では $v = 0$ となり、 $c = 2$ の1つだけである。また $v = 1$ となるのは $\frac{2 a - 1}{a ^{2}} = 1$ すなわち $(a - 1)^{2} = 0$ より $a = 1$ のときで、このときも $c = 1$ の1つだけである。したがって、ちょうど2つ存在するのは $a > \frac{1}{2}, a \neq = 1$ のときである。

この範囲では $0 < v < 1$ であり、2つの解は $c_{1} = \frac{2}{1 + v}, c_{2} = \frac{2}{1 - v}$ である。2つの中心 $B, C$ は同じ直線 $x = a$ 上にあるので

B C = \frac{2}{1 - v} - \frac{2}{1 + v} = \frac{4 v}{1 - v} .

ここで $a > 1/2$ なので $a > 0$ であり、

v = \frac{2 a - 1}{a}, 1 - v = 1 - \frac{2 a - 1}{a ^{2}} = \frac{( a - 1 ) ^{2}}{a ^{2}}

である。したがって $B C = \frac{4 a 2 a - 1}{( a - 1 ) ^{2}}$ である。

点 $A (1, 2)$ から直線 $x = a$ までの距離は $∣ a - 1∣$ であるから、三角形 $A B C$ の面積は

S (a) = \frac{1}{2} B C ∣ a - 1∣ = \frac{1}{2} \cdot \frac{4 a 2 a - 1}{( a - 1 ) ^{2}} \cdot ∣ a - 1∣ = \frac{2 a 2 a - 1}{∣ a - 1∣} .

よって定義域は $a > \frac{1}{2}, a \neq = 1$ であり、 $S (a) = \frac{2 a 2 a - 1}{∣ a - 1∣}$ である。

グラフを調べる。まず $\frac{1}{2} < a < 1$ では $S (a) = \frac{2 a 2 a - 1}{1 - a}$ である。このとき $S^{'} (a) = - \frac{2 ( a ^{2} - 3 a + 1 )}{( a - 1 ) ^{2} 2 a - 1}$ である。区間 $1/2 < a < 1$ では $a^{2} - 3 a + 1 < 0$ なので $S^{'} (a) > 0$ である。したがってこの枝は単調増加し、 $a \to \frac{1}{2} + 0 で S (a) \to 0, a \to 1 - 0 で S (a) \to \infty$ である。

次に $a > 1$ では $S (a) = \frac{2 a 2 a - 1}{a - 1}$ である。このとき $S^{'} (a) = \frac{2 ( a ^{2} - 3 a + 1 )}{( a - 1 ) ^{2} 2 a - 1}$ である。 $a > 1$ で $a^{2} - 3 a + 1 = 0$ となるのは $a = \frac{3 + 5}{2}$ だけである。したがって、 $1 < a < (3 + 5) /2$ では減少し、 $a > (3 + 5) /2$ では増加する。

最小値は

S (\frac{3 + 5}{2}) = \frac{2 \cdot \frac{3 + 5}{2} 2 + 5}{\frac{1 + 5}{2}} = (1 + 5) 2 + 5

である。また

a \to 1 + 0 で S (a) \to \infty, a \to \infty で S (a) \to \infty

である。

以上より、グラフは次の特徴をもつ。定義域は $(1/2, 1) \cup (1, \infty)$ 。左の枝は $(1/2, 1)$ で単調増加し、 $a = 1$ を縦の漸近線として無限大に発散する。右の枝は $a = 1$ の右で無限大から始まり、 $a = (3 + 5) /2$ で最小値 $(1 + 5) 2 + 5$ をとった後、再び無限大へ増加する。

大阪大学 2003年度理系数学 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

大阪大学 2003年度
理系数学第5問