大阪大学 2003年度
理系数学 第4問

解答

(1)

$l\geqq 2$ であるから、数列 $l,l^2,l^3,\dots$ は限りなく大きくなる。したがって、与えられた自然数 $n$ に対して $k^n<l^m$ を満たす自然数 $m$ が存在する。

そのような $m$ のうち最小のものを取る。この最小性より、$m=1$ なら $l^{m-1}=1\leqq k^n$ であり、$m\geqq 2$ なら $m-1$ は条件 $k^n<l^{m-1}$ を満たさないので $l^{m-1}\leqq k^n$ である。よって $l^{m-1}\leqq k^n<l^m$ を満たす自然数 $m$ が存在する。

(2)

条件 $a_{kl}=a_k+a_l$ を繰り返し用いると $a_{k^n}=n{a}_k,a_{l^m}=m{a}_l$ である。また $l\geqq 2$ なので $l^2>l$ であり、単調性から $a_{l^2}>a_l$ である。一方 $a_{l^2}=a_l+a_l=2a_l$ だから $a_l>0$ である。

(1) で得た $m$ に対して $l^{m-1}\leqq k^n<l^m$ が成り立つ。数列 $\{a_k\}$ は増加するので $a_{l^{m-1}}\leqq a_{k^n}<a_{l^m}$ である。これを $a_{k^n}=n{a}_k$、$a_{l^{m-1}}=(m-1)a_l$、$a_{l^m}=m{a}_l$ と書き直すと $(m-1)a_l\leqq n{a}_k<m{a}_l$ である。$a_l>0$ で割って $\frac{m-1}{n}\leqq \frac{a_k}{a_l}<\frac{m}{n}$ を得る。

一方、(1) の不等式に対数を取ると $(m-1)\log l\leqq n\log k<m\log l$ である。$l\geqq 2$ より $\log l>0$ だから $\frac{m-1}{n}\leqq \frac{\log k}{\log l}<\frac{m}{n}$ である。

したがって $a_k/a_l$ と $\log k/\log l$ は、どちらも $\left[\frac{m-1}{n},\frac{m}{n}\right)$ という長さ $1/n$ の区間に入る。よって $-\frac{1}{n}<\frac{a_k}{a_l}-\frac{\log k}{\log l}<\frac{1}{n}$ が成り立つ。

(3)

(2) で $l=2$ とする。$k\geqq 2$ について、任意の自然数 $n$ に対して $-\frac{1}{n}<\frac{a_k}{a_2}-\frac{\log k}{\log 2}<\frac{1}{n}$ が成り立つ。もし $\frac{a_k}{a_2}-\frac{\log k}{\log 2}$ が0でないなら、その絶対値を $\delta >0$ として、$n>1/\delta$ を取ると上の不等式に反する。したがって $\frac{a_k}{a_2}=\frac{\log k}{\log 2}$ である。 $a_2=a$ より、$k\geqq 2$ では $a_k=a\frac{\log k}{\log 2}$ である。また $k=l=1$ を $a_{kl}=a_k+a_l$ に代入すると $a_1=a_1+a_1$ より $a_1=0$ である。これは上の式に $k=1$ を入れた値 $a\frac{\log 1}{\log 2}=0$ と一致する。よって一般項は $\boxed{a_k=a\frac{\log k}{\log 2}(k=1,2,3,\dots )}$ である。