大阪大学 2003年度理系数学第3問解答・解説

問題

(1) $f (x)$ を $x$ の整式とし， ${a_{k}}$ は $a_{k} < a_{k + 1}$ $(k = 1, 2, \dots\dots)$ および $k \to \infty lim a_{k} = \infty$ をみたす数列とする．このとき $f (a_{k}) = 0$ ， $k = 1, 2, \dots\dots$ ならば $f (x)$ は整式として0であることを示せ．

(2) $f_{1} (x)$ ， $f_{2} (x)$ ， $f_{3} (x)$ を $x$ の整式とし $F (x) = f_{1} (x) + f_{2} (x) sin x + f_{3} (x) sin 2 x$ はすべての実数 $x$ に対して0であるとする．このとき $f_{1} (x)$ ， $f_{2} (x)$ ， $f_{3} (x)$ はいずれも整式として0であることを示せ．

出典：大阪大学 2003年度前期日程第2次学力試験理系第3問

方針

(1) は、0でない整式が次数より多くの相異なる根をもてないことを使う。(2) はまず $x = k π$ を代入して $f_{1}$ を消す。次に $sin 2 x = 2 sin x cos x$ を用い、 $cos x = 1/2$ と $cos x = - 1/2$ になる無限列を代入して $f_{2} + f_{3}$ と $f_{2} - f_{3}$ をそれぞれ0にする。

解答

(1)

$f (x)$ が0でない整式であると仮定する。その次数を $d$ とすれば、方程式 $f (x) = 0$ の実数解は高々 $d$ 個である。

一方、条件より $a_{1} < a_{2} < a_{3} < \dots$ であり、 $a_{k}$ は互いに異なる。さらにすべての $k$ について $f (a_{k}) = 0$ であるから、 $f (x) = 0$ は無限に多くの実数解をもつことになる。これは0でない整式について不可能である。したがって $f (x)$ は整式として0である。

(2)

まず、任意の正の整数 $k$ について $x = k π$ を代入する。このとき $sin k π = 0, sin 2 k π = 0$ であるから $f_{1} (k π) = 0$ である。数列 $k π$ は単調に増加し、限りなく大きくなるので、(1) より $f_{1} (x) = 0$ が整式として成り立つ。

したがって、すべての実数 $x$ について $f_{2} (x) sin x + f_{3} (x) sin 2 x = 0$ である。 $sin 2 x = 2 sin x cos x$ より、 $sin x \neq = 0$ のとき $f_{2} (x) + 2 f_{3} (x) cos x = 0$ である。

次に $x = 2 k π + \frac{π}{3} (k = 0, 1, 2, \dots)$ を代入する。このとき $sin x \neq = 0$ 、 $cos x = 1/2$ であるから $f_{2} (x) + f_{3} (x) = 0$ が無限に多くの $x$ で成り立つ。したがって (1) より $f_{2} (x) + f_{3} (x) = 0$ が整式として成り立つ。

また $x = 2 k π + \frac{2 π}{3} (k = 0, 1, 2, \dots)$ を代入すると、 $sin x \neq = 0$ 、 $cos x = - 1/2$ であるから $f_{2} (x) - f_{3} (x) = 0$ が無限に多くの $x$ で成り立つ。再び (1) より $f_{2} (x) - f_{3} (x) = 0$ が整式として成り立つ。

2つの恒等式 $f_{2} + f_{3} = 0, f_{2} - f_{3} = 0$ を加減すれば $f_{2} (x) = 0, f_{3} (x) = 0$ である。よって $f_{1} (x), f_{2} (x), f_{3} (x)$ はいずれも整式として0である。

大阪大学 2003年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

大阪大学 2003年度
理系数学第3問