大阪大学 2003年度理系数学第2問解答・解説

問題

(1) $0 < t < 1$ のとき，不等式 $\frac{lo g t}{2} < - \frac{1 - t}{1 + t}$ が成り立つことを示せ．

(2) $k$ を正の定数とする． $a > 0$ とし，曲線 $C : y = e^{k x}$ 上の2点 $P (a, e^{k a})$ ， $Q (- a, e^{- k a})$ を考える．このとき $P$ における $C$ の接線と $Q$ における $C$ の接線の交点の $x$ 座標は常に正であることを示せ．

出典：大阪大学 2003年度前期日程第2次学力試験理系第2問

方針

(1) は示したい不等式を、 $t = 1$ で0になる関数の正値性に直して微分で示す。(2) は2本の接線の交点の $x$ 座標を式で求め、 $A = k a$ 、 $t = e^{- 2 A}$ と置いて (1) の不等式と同じ形を作る。分母が正であることもあわせて確認する。

解答

(1)

示したい不等式は $lo g t < - \frac{2 ( 1 - t )}{1 + t}$ と同値である。そこで $F (t) = - \frac{2 ( 1 - t )}{1 + t} - lo g t$ とおく。 $0 < t < 1$ において

F^{'} (t) = \frac{4}{( 1 + t ) ^{2}} - \frac{1}{t} = \frac{4 t - ( 1 + t ) ^{2}}{t ( 1 + t ) ^{2}} = - \frac{( t - 1 ) ^{2}}{t ( 1 + t ) ^{2}} < 0

である。また $F (1) = 0$ である。 $F$ は増加する $t$ に対して減少するので、 $0 < t < 1$ では $F (t) > F (1) = 0$ となる。よって $lo g t < - \frac{2 ( 1 - t )}{1 + t}$ であり、両辺を2で割って $\frac{l o g t}{2} < - \frac{1 - t}{1 + t}$ が成り立つ。

(2)

曲線 $y = e^{k x}$ の導関数は $y^{'} = k e^{k x}$ である。したがって、点 $P (a, e^{k a})$ における接線は $y = e^{k a} + k e^{k a} (x - a)$ であり、点 $Q (- a, e^{- k a})$ における接線は $y = e^{- k a} + k e^{- k a} (x + a)$ である。

この2直線の交点の $x$ 座標を $X$ とする。2つの接線の $y$ 座標を等しくすると $e^{k a} {1 + k (X - a)} = e^{- k a} {1 + k (X + a)}$ である。ここで $A = k a > 0$ とおくと $e^{A} (1 - A + k X) = e^{- A} (1 + A + k X)$ である。整理して $k X (e^{A} - e^{- A}) = e^{- A} (1 + A) - e^{A} (1 - A)$ を得る。両辺を $e^{A}$ で割ると $k X (1 - e^{- 2 A}) = A - 1 + (1 + A) e^{- 2 A}$ である。

ここで $t = e^{- 2 A}$ とおくと、 $A > 0$ より $0 < t < 1$ であり、 $A = - \frac{1}{2} lo g t$ である。(1) より $\frac{l o g t}{2} < - \frac{1 - t}{1 + t}$ だから $A > \frac{1 - t}{1 + t}$ である。よって $A (1 + t) > (1 - t)$ であり、これは $A - 1 + (1 + A) t > 0$ を意味する。すなわち $A - 1 + (1 + A) e^{- 2 A} > 0$ である。

一方、 $k > 0$ かつ $1 - e^{- 2 A} > 0$ である。したがって $X > 0$ であり、接線の交点の $x$ 座標は常に正である。

大阪大学 2003年度理系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

大阪大学 2003年度
理系数学第2問