問題
を正の実数，とする．ただしは虚数単位である．また，複素数の列を， で定める．
(1) が実数になるための必要十分条件はが6の倍数であることを示せ．
(2) 複素数平面で原点をとしを表す点をとする．であるようなについて，が直角二等辺三角形となるようなとを求めよ．
出典：大阪大学 2003年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第1問
方針
まず漸化式の指数部分だけを追い、 を求める。(1) は偏角 が の整数倍になる条件に直す。(2) は の長さと、原点での角 を使い、直角二等辺三角形では原点の角が または に限られることから候補を絞る。
解答
(1)
と書く。条件 より であり、漸化式 から である。したがって となる。よって である。 が実数であるための必要十分条件は、偏角 が の整数倍であることである。すなわち であり、これは と同値である。 だから、 は と同値である。したがって である。
(2)
点 の原点からの距離は である。また と の偏角の差は である。 では なので、これがそのまま である。
直角二等辺三角形の角は である。したがって、原点 の角が直角である場合は が必要である。しかしこれは を与え、整数 は存在しない。
よって原点の角は でなければならない。したがって より を得る。
このとき である。原点の角が の直角二等辺三角形では、原点から出る2辺の長さの比は である。したがって となる。
以上より
である。