大阪大学 2002年度理系数学第5問解答・解説

問題

平面上に原点 $O$ を中心とする半径1の円 $C_{1}$ と点 $P (0, sin α)$ を中心とする半径1の円 $C_{2}$ がある．ただし $0 < α < \frac{π}{2}$ とする．円 $C_{2}$ と $x$ 軸との交点を $A$ ， $B$ とし， $A$ ， $B$ を通り $y$ 軸と平行な直線をそれぞれ $l_{A}$ ， $l_{B}$ とする．2直線 $l_{A}$ ， $l_{B}$ ではさまれた領域の部分で，円 $C_{1}$ の外部で円 $C_{2}$ の内部であるものを $D_{1}$ ，円 $C_{2}$ の外部で円 $C_{1}$ の内部であるものを $D_{2}$ とする．いま， $D_{1}$ ， $D_{2}$ をそれぞれ $x$ 軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積を $V_{1} (α)$ ， $V_{2} (α)$ とする．

(1) $V_{1} (α)$ ， $V_{1} (α) - V_{2} (α)$ をそれぞれ $α$ を用いて表せ．

(2) $α$ が $0 < α < \frac{π}{2}$ の範囲を動くとき， $V_{1} (α) - V_{2} (α)$ の最大値を求めよ．

出典：大阪大学 2002年度前期日程第2次学力試験理系第5問

方針

$s = sin α$ , $c = cos α$ と置く。円 $C_{2}$ と $x$ 軸の交点は $x = \pm c$ で、対象はこの範囲の縦断面で考えられる。 $r (x) = 1 - x^{2}$ とすると、 $C_{1}$ の上端は $r$ 、 $C_{2}$ の上端は $s + r$ 、下端は $s - r$ である。 $D_{1}$ の回転断面は外半径 $s + r$ 、内半径 $r$ の差、 $D_{2}$ は外半径 $r$ 、内半径 $r - s$ の差として積分する。最後は $V_{1} - V_{2} = 4 π cos α sin^{2} α$ を微分して最大化する。

解答

(1)

$s = sin α, c = cos α$ とおく。 $0 < α < \frac{π}{2}$ より $s > 0, c > 0$ である。

円 $C_{2}$ は中心 $(0, s)$ 、半径1の円だから、 $x$ 軸との交点は $x^{2} + s^{2} = 1$ を満たす。したがって交点の $x$ 座標は $x = \pm c$ であり、2直線 $l_{A}, l_{B}$ にはさまれる範囲は $- c ≦ x ≦ c$ である。

この範囲で $r (x) = 1 - x^{2}$ とおく。円 $C_{1}$ の上端は $y = r (x)$ 、下端は $y = - r (x)$ である。また円 $C_{2}$ の上端は $y = s + r (x)$ 、下端は $y = s - r (x)$ である。 $∣ x ∣ ≦ c$ では $r (x) ≧ s$ なので、 $s - r (x) ≦ 0$ である。

まず $D_{1}$ は、円 $C_{2}$ の内部で円 $C_{1}$ の外部にある部分である。縦断面で見ると、上側に $r (x) ≦ y ≦ s + r (x)$ の部分が現れる。これを $x$ 軸のまわりに回転すると、断面積は $π {(s + r (x))^{2} - r (x)^{2}}$ である。したがって $V_{1} (α) = π \int_{- c}^{c} {s^{2} + 2 sr (x)} d x$ である。

ここで $\int_{- c}^{c} 1 - x^{2} d x = cs + \frac{π}{2} - α$ である。これは単位円の面積を、中心角または $x = sin u$ の置換で計算すれば得られる。よって

V_{1} (α) = π {2 c s^{2} + 2 s (cs + \frac{π}{2} - α)}

であり、 $V_{1} (α) = π {4 c s^{2} + s (π - 2 α)}$ となる。すなわち

V_{1} (α) = π {4 cos α sin^{2} α + sin α (π - 2 α)}

である。

次に $D_{2}$ は、円 $C_{1}$ の内部で円 $C_{2}$ の外部にある部分である。縦断面では下側に $- r (x) ≦ y ≦ s - r (x)$ の部分が現れる。これを回転すると、外半径は $r (x)$ 、内半径は $r (x) - s$ であるから、断面積は $π {r (x)^{2} - (r (x) - s)^{2}}$ である。よって $V_{2} (α) = π \int_{- c}^{c} {2 sr (x) - s^{2}} d x$ となる。上の積分値を用いると $V_{2} (α) = π s (π - 2 α)$ である。

したがって $V_{1} (α) - V_{2} (α) = 4 π cos α sin^{2} α$ である。

(2)

$h (α) = cos α sin^{2} α$ とおく。すると $h^{'} (α) = - sin α sin^{2} α + 2 cos^{2} α sin α$ であるから $h^{'} (α) = sin α (2 cos^{2} α - sin^{2} α)$ である。 $0 < α < \frac{π}{2}$ では $sin α > 0$ なので、符号は $2 cos^{2} α - sin^{2} α$ で決まる。 $sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ を用いると、 $2 cos^{2} α - sin^{2} α = 0$ は $2 (1 - sin^{2} α) - sin^{2} α = 0$ すなわち $sin^{2} α = \frac{2}{3}$ と同値である。このとき $cos α = \frac{1}{3}$ である。 $h^{'}$ はこの点まで正、その後負になるので、 $h$ はここで最大となる。よって

max (V_{1} (α) - V_{2} (α)) = 4 π \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{8 π}{3 3}

である。

大阪大学 2002年度理系数学 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

大阪大学 2002年度
理系数学第5問