問題
をを満たす整数とし，1つのさいころを投げる試行を回くり返す．このとき，を満たす整数に対し，「回の試行のうち，同じ目が出るどの2つの試行も以上離れている」という事象が起こる確率をと表す．ただし，番目の試行と番目の試行について，この試行はだけ離れているということにする．
(1) の値を求めよ．
(2) のとき，の値を求めよ．
(3) 「回の試行において，同じ目が続くことはなく，しかも同じ目が出る試行の組でちょうど2だけ離れたものが少なくとも1組存在する」という事象が起こる確率を求めよ．
方針
条件は「同じ目が近くに再出現しない」というものなので、各回で直前 回に出た目を禁止する数え上げにする。(1) の は直前と同じ目が出ないだけである。(2) では のとき、最初の 回はすべて異なり、その後は直前 個以外から選ぶ。 では7回の中に同じ目が必ず現れ、その距離は6以下なので不可能。(3) は「連続同目なし」から「距離2の同目もなし」を引く余事象的な差で求める。
解答
(1)
の条件は、同じ目が出る2回の試行が少なくとも2だけ離れているということである。これは、隣り合う2回で同じ目が出ないことと同値である。
1回目は6通りであり、2回目以降は直前の目と異なる5通りを選べばよい。したがって条件を満たす出方は 通りである。全事象は 通りなので である。
(2)
まず とする。このとき、最初の 回に同じ目が2回出ると、その2回の距離は高々 であり条件に反する。したがって最初の 回はすべて異なる必要がある。
最初の 回の選び方は 通りである。 回目以降は、直前の 回に出た目を選ぶことができない。条件がここまで守られていれば、この直前 回の目はすべて異なるので、禁止される目は 種類である。したがって各回で選べる目は 通りである。 回目から 回目までは 回あるので、
である。
この式は、従来の書き方では とまとめても同じである。
次に とする。最初の7回の試行を考えると、さいころの目は6種類しかないから、同じ目が少なくとも2回出る。その2回の距離は最大でも6である。ところが では、同じ目が出る2回は少なくとも だけ離れていなければならないので不可能である。よって である。
(3)
求める事象は、まず「同じ目が続くことはない」という条件を満たし、さらに「距離2で同じ目が出る組が少なくとも1組ある」というものである。
「同じ目が続くことはない」確率は である。一方、その中で「距離2で同じ目が出る組もない」ことは、同じ目が出るどの2回も少なくとも3だけ離れていること、すなわち の条件である。したがって求める確率は である。
(1)
, (2) より
なので、求める確率は である。