大阪大学 2002年度理系数学第3問解答・解説

問題

$α$ を $∣ α ∣ = 1$ であるような複素数とし，複素数の列 ${z_{n}}$ を

z_{1} = 1, z_{2} = \frac{α ^{4}}{2}, \frac{z _{n}}{z _{n - 1}} = \frac{α ^{2}}{4} \frac{z _{n - 2}}{z _{n - 1}} (n = 3, 4, 5, \dots\dots)

で定める．ただし， $\overline{z_{n}}$ は複素数 $z_{n}$ の共役な複素数とする．

(1) 各 $n$ に対し， $z_{n}$ を求めよ．

(2) $z_{n}$ の実部と虚部をそれぞれ $x_{n}$ ， $y_{n}$ とし， $α = - \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$ とおくとき，無限級数の和 $k = 1 \sum \infty x_{k}$ ， $k = 1 \sum \infty y_{k}$ をそれぞれ求めよ．

出典：大阪大学 2002年度前期日程第2次学力試験理系第3問

方針

共役を含む漸化式は、項そのものより比 $r_{n} = z_{n} / z_{n - 1}$ を見ると扱いやすい。すると $r_{n} = \frac{α ^{2}}{4} \cdot 1/ \overline{r_{n - 1}}$ という漸化式になり、 $∣ α ∣ = 1$ を使って $r_{n} = α^{2 n} /2$ を帰納的に示せる。そこから $z_{n}$ は比の積で求まる。(2) は $α^{3} = 1$ によって指数を3で割った余りで分類し、実部・虚部を3項周期の等比級数として足す。

解答

(1)

$r_{n} = \frac{z _{n}}{z _{n - 1}} (n ≧ 2)$ とおく。問題の条件より $r_{2} = \frac{z _{2}}{z _{1}} = \frac{α ^{4}}{2}$ である。また $n ≧ 3$ では

r_{n} = \frac{α ^{2}}{4} \frac{z _{n - 2}}{z _{n - 1}} = \frac{α ^{2}}{4} \cdot \frac{1}{r _{n - 1}}

である。

ここで $∣ α ∣ = 1$ だから $\overline{α} = 1/ α$ である。 $r_{n - 1} = α^{2 n - 2} /2$ と仮定すると

\overline{r_{n - 1}} = \frac{α ^{2 n - 2}}{2} = \frac{α ^{- (2 n - 2)}}{2}

である。したがって $r_{n} = \frac{α ^{2}}{4} \cdot 2 α^{2 n - 2} = \frac{α ^{2 n}}{2}$ となる。 $n = 2$ でも成り立つので、帰納法により $r_{n} = \frac{α ^{2 n}}{2} (n ≧ 2)$ である。

よって $z_{n} = z_{1} r_{2} r_{3} \dots r_{n} = \frac{α ^{2 (2 + 3 + \dots + n)}}{2 ^{n - 1}}$ である。指数を計算すると $2 (2 + 3 + \dots + n) = 2 (\frac{n ( n + 1 )}{2} - 1) = n (n + 1) - 2$ だから $z_{n} = \frac{α ^{n (n + 1) - 2}}{2 ^{n - 1}} (n = 1, 2, 3, \dots)$ である。 $n = 1$ のときも右辺は $1$ になり、 $z_{1} = 1$ と一致する。

(2)

$α = - \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$ であるから $α^{3} = 1, α \neq = 1$ である。したがって $z_{k}$ に現れる $α^{k (k + 1) - 2}$ は指数を3で割った余りだけで決まる。 $k$ を3で割った余りで分類すると、 $k \equiv 1 (mod 3) \Rightarrow k (k + 1) - 2 \equiv 0 (mod 3),$ $k \equiv 0, 2 (mod 3) \Rightarrow k (k + 1) - 2 \equiv 1 (mod 3)$ である。よって $z_{3 j + 1} = \frac{1}{2 ^{3 j}},$

z_{3 j + 2} = \frac{α}{2 ^{3 j + 1}}, z_{3 j + 3} = \frac{α}{2 ^{3 j + 2}}

である。ここで $j = 0, 1, 2, \dots$ とする。 $α = - \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$ なので、実部の和は

k = 1 \sum \infty x_{k} = j = 0 \sum \infty {\frac{1}{2 ^{3 j}} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2 ^{3 j + 1}} + \frac{1}{2 ^{3 j + 2}})}

である。中括弧内は

\frac{1}{2 ^{3 j}} (1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{8}) = \frac{1}{2 ^{3 j}} \cdot \frac{5}{8}

であるから、

k = 1 \sum \infty x_{k} = \frac{5}{8} j = 0 \sum \infty (\frac{1}{8})^{j} = \frac{5}{8} \cdot \frac{1}{1 - 1/8} = \frac{5}{7}

である。

同様に虚部の和は

k = 1 \sum \infty y_{k} = \frac{3}{2} j = 0 \sum \infty (\frac{1}{2 ^{3 j + 1}} + \frac{1}{2 ^{3 j + 2}})

である。よって

k = 1 \sum \infty y_{k} = \frac{3}{2} j = 0 \sum \infty \frac{1}{2 ^{3 j}} (\frac{1}{2} + \frac{1}{4}) = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{1 - 1/8} = \frac{3 3}{7}

である。

大阪大学 2002年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

大阪大学 2002年度
理系数学第3問