問題
実数を係数とする3次方程式が異なる3つの実数解をもつとする．このとき，，ならば，少なくとも2つの実数解は負であることを示せ．
出典：大阪大学 2002年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第1問
方針
3つの実数解を とおき、解と係数の関係から , を使う。負の解が0個なら和が負にならず矛盾する。負の解が1個だけと仮定し、 と書くと、和が負であることから が従う。一方、2次の対称和が正であることから が必要になるが、これは と両立しない。
解答
3つの異なる実数解を とおく。解と係数の関係より である。仮定 , から である。
負の解が1つもないとすると、3つの解はすべて0以上である。このとき となり、 に反する。したがって負の解は少なくとも1つ存在する。
次に、負の解がちょうど1つであると仮定する。解の順序を入れ替えて と書ける。ただし である。ここで または なら となり、 に反する。従って実際には である。
和について だから である。一方、2次の対称和について である。これが正であるから が必要である。
しかし より であり、さらに である。したがって となり、 と矛盾する。
よって負の解がちょうど1つであることも不可能である。以上より、負の実数解は 存在する。