問題
平面上に双曲線を考える．をを満たす数とし，曲線上の4点をそれぞれ座標がであるような点としたとき，四角形が長方形になっているとする．
(1) をを用いて表せ．
(2) 線分と軸との交点を，線分と軸との交点をとするとき，線分と曲線が共通点をもたないようなの値の範囲を求めよ．
(3) が(2)の範囲にあるとき，3線分と曲線で囲まれた部分の面積を求めよ．
(4) が(2)の範囲を動くとき，の増減を調べ，その最大値を求めよ．
方針
(1) は長方形が平行四辺形であることから、対角線の中点一致を使って4点の対称性を導き、さらに隣り合う辺の垂直条件から を出す。(2) は対角線上の点 を求め、直線 と双曲線 の交点の有無を2次方程式の判別式で調べる。(3) は曲線 と折れ線 の間の面積として、直線部分の面積を積分で整理する。(4) は得られた を微分し、(2) の範囲内で増減を判定する。
解答
(1)
各点は
である。四角形 が長方形であるから、まず平行四辺形であり、対角線の中点が一致する。したがって が成り立つ。座標ごとに書くと である。
第2式は である。第1式と合わせると、もし なら となり、2数 と は和も積も等しいので同じ組になってしまう。これは に反する。よって でなければならない。したがって である。
次に、長方形であるから隣り合う辺 と は垂直である。すなわち の内積が0である。よって
である。整理すると すなわち である。 なので であり、 を得る。したがって である。また より である。
(2)
(1) より である。直線 は傾き1であり、 と書ける。よって 軸との交点は である。
同様に、 を通る直線 は であるから、 軸との交点は である。
ここで とおく。 より である。直線 は である。この線分と双曲線 が共通点をもたないためには、 において が解をもたなければよい。これは すなわち が実数解をもたないことと同値である。したがって判別式より である。 だから であり、 となる。 と合わせて解くと より である。
(3)
以下、 とする。 とおく。求める部分は、双曲線の弧 と折れ線 に囲まれた部分である。
双曲線の弧 の下の面積は である。一方、折れ線 に沿う直線部分は である。向きに注意して から へ進むと、直線部分に対応する積分は である。これを計算すると
である。
したがって面積は すなわち である。
(4)
(3) の式を微分すると である。分母をそろえると である。 では , なので、符号は の符号で決まる。
したがって である。よって は で増加し、 で減少する。最大は のときである。
このとき である。よって最大値は である。