大阪大学 2001年度
理系数学 第5問

解答

はじめに、$a_n\geqq 0$ かつ ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n=1/2$ であるから、各 $n$ について $0\leqq a_n\leqq \frac{1}{2}$ である。したがって $1-a_n>0$ である。また部分和は $1/2$ 以下なので $\frac{1}{2}\leqq c_n\leqq 1$ である。

(1)

$n=1$ のとき $b_1=1-a_1=c_1$ であるから、$b_1\geqq c_1$ は成り立つ。

ある $n$ で $b_n\geqq c_n$ が成り立つと仮定する。このとき $b_{n+1}=b_n(1-a_{n+1})$ であり、$1-a_{n+1}>0$ だから $b_{n+1}\geqq c_n(1-a_{n+1})$ である。一方 $c_{n+1}=1-(a_1+a_2+\cdots +a_n+a_{n+1})=c_n-a_{n+1}$ なので $c_n(1-a_{n+1})-c_{n+1}=c_n-c_n{a}_{n+1}-(c_n-a_{n+1})$ $=a_{n+1}(1-c_n)\geqq 0$ である。よって $c_n(1-a_{n+1})\geqq c_{n+1}$ であり、したがって $b_{n+1}\geqq c_{n+1}$ である。数学的帰納法により、すべての $n$ について $b_n\geqq c_n$ が成り立つ。

(2)

$b_{n+1}=c_{n+1}$ とする。(1)の証明より常に $b_{n+1}=b_n(1-a_{n+1})\geqq c_n(1-a_{n+1})\geqq c_{n+1}$ である。両端が等しいので、中央の不等式もすべて等号でなければならない。特に $b_n(1-a_{n+1})=c_n(1-a_{n+1})$ である。$1-a_{n+1}>0$ だから、両辺を割って $b_n=c_n$ を得る。

(3)

$b_3=1/2$ とする。(1)より $\frac{1}{2}=b_3\geqq c_3$ である。一方、$a_n\geqq 0$ かつ全体の和が $1/2$ なので $a_1+a_2+a_3\leqq \frac{1}{2}$ である。したがって $c_3=1-(a_1+a_2+a_3)\geqq \frac{1}{2}$ である。以上から $c_3=\frac{1}{2}$ である。

よって $a_1+a_2+a_3=\frac{1}{2}$ かつ $(1-a_1)(1-a_2)(1-a_3)=\frac{1}{2}$ である。後者を展開すると $1-(a_1+a_2+a_3)+(a_1{a}_2+a_2{a}_3+a_3{a}_1)-a_1{a}_2{a}_3=\frac{1}{2}$ である。$a_1+a_2+a_3=1/2$ を代入すると $a_1{a}_2+a_2{a}_3+a_3{a}_1=a_1{a}_2{a}_3$ を得る。

ここで $0\leqq a_i\leqq 1/2$ である。もし $a_1,a_2,a_3$ のうち2つ以上が正なら、たとえば正の2項の積が左辺に現れ、右辺 $a_1{a}_2{a}_3$ はそれに残りの1項をさらに掛けたもの以下である。残りの1項は高々 $1/2$ なので、左辺が右辺に等しくなることはできない。したがって、$a_1,a_2,a_3$ のうち少なくとも2つは0である。

さらに和が $1/2$ であるから、残りの1つは $1/2$ である。よって

の3通りである。これらの場合、すでに最初の3項の和が $1/2$ なので、$n\geqq 4$ ではすべて $a_n=0$ でなければならない。

したがって $b_3=1/2$ となる数列は $3$ 種類である。

別解。(3)の個数は、等号成立を(2)で逆にたどっても数えられる。$b_3=c_3$ なので(2)より $b_2=c_2$ である。(1)の帰納法の等号条件を見ると、$b_2=c_2$ からは $a_1{a}_2=0$ が必要である。また $b_3=c_3$ へ進む段階では $a_3(1-c_2)=0$ が必要である。$a_3>0$ なら $c_2=1$ なので $a_1=a_2=0$ となり、$a_3=1/2$。$a_3=0$ なら $a_1+a_2=1/2$ かつ $a_1{a}_2=0$ だから、$(a_1,a_2)=(1/2,0),(0,1/2)$ である。結局同じ3通りを得る。