問題
2つの複素数，（，，，は実数，は虚数単位）に対し，とがともに成り立つとき，と書くことにする．
(1) 次の条件かつをみたす複素数の範囲を求め，複素数平面上に図示せよ．ただし，はに共役な複素数とする．
(2) (1)で求めた範囲をが動くとき，絶対値の最小値，および最小値をあたえるを求めよ．
方針
まず とおき、記号 を実部・虚部の連立不等式へ直す。 から と が出る。さらに を整理すると と、 のときだけ が必要になる。領域は 軸上の半直線と、第1象限の双曲線・円で囲まれる部分の和として図示する。(2)は点 からこの領域までの距離の最小化であり、 の半直線と の有界部分を分けて、後者では 、 の交点を調べる。
解答
(1)
とおく。まず であるから、 は と同値である。
また であり、
である。したがって は と同値である。第1の不等式は であり、かっこの中は正だから である。
さらに と より である。 と合わせると が従う。第2の不等式は であるから、 のときは自動的に成り立ち、 のときは でなければならない。
以上より求める範囲は、次の2つを合わせたものである。 および である。図示すると、 軸上の から右へ伸びる半直線と、第1象限で双曲線 の右側かつ円 の内側にある部分である。この有界部分の上端は の交点、すなわち である。
(2)
は点 と点 の距離である。まず 、 の半直線上では である。
次に の有界部分を考える。制約 、 から である。よって すなわち である。固定した に対して点 に最も近くするには を最小にすればよいので、 とする。このとき である。右辺は で減少するから、最小は で生じる。このとき であり、 より である。
したがって最小となる点は 、すなわち であり、最小値は である。 なので、 軸上の半直線よりも小さい。