大阪大学 2001年度理系数学第4問解答・解説

問題

関数 $f (x) = 4 cos^{2} x - 8 cos x + 3$ を考える． $n$ ， $k$ を自然数とし

g_{n} (k) = f (\frac{π}{3 n}) + f (\frac{2 π}{3 n}) + \dots\dots + f (\frac{k π}{3 n})

とおく．ただし $n ≧ 2$ とする．

(1) $n$ を固定する． $2 ≦ k ≦ 3 n$ の範囲で $g_{n} (k - 1) ≧ g_{n} (k)$ となる $k$ をすべて求めよ．また， $k$ が $1 ≦ k ≦ 3 n$ の範囲を動くとき， $g_{n} (k)$ を最小とする $k$ をすべて求めよ．

(2) (1)における $g_{n} (k)$ の最小値を $G_{n}$ とする．このとき極限値 $n \to \infty lim \frac{G _{n}}{n}$ を求めよ．

出典：大阪大学 2001年度前期日程第2次学力試験理系第4問

方針

部分和 $g_{n} (k)$ の増減は、差 $g_{n} (k) - g_{n} (k - 1) = f (k π / (3 n))$ の符号で決まる。 $f (x) = 4 cos^{2} x - 8 cos x + 3$ は $0 < x ≦ π$ で $x ≦ π /3$ のときだけ0以下になるので、減少・横ばい・増加の位置が分かる。最小値は $k = n - 1, n$ で同じ値になる。(2)ではその一方 $G_{n} = g_{n} (n)$ を採用し、 $1/ n$ 倍した和をリーマン和として $0 ≦ x ≦ 1$ の定積分に直す。

解答

(1)

定義より $g_{n} (k) - g_{n} (k - 1) = f (\frac{k π}{3 n})$ である。したがって $g_{n} (k - 1) ≧ g_{n} (k)$ は $f (\frac{k π}{3 n}) ≦ 0$ と同値である。

ここで $f (x) = 4 cos^{2} x - 8 cos x + 3$ であり、 $X = cos x$ とおくと $4 X^{2} - 8 X + 3 ≦ 0$ である。この2次不等式の解は $\frac{1}{2} ≦ X ≦ \frac{3}{2}$ である。 $- 1 ≦ cos x ≦ 1$ だから、結局 $f (x) ≦ 0$ は $cos x ≧ \frac{1}{2}$ と同値である。

いま $2 ≦ k ≦ 3 n$ では $0 < \frac{k π}{3 n} ≦ π$ である。この範囲で $cos x ≧ 1/2$ となるのは $x ≦ π /3$ のときであるから $\frac{k π}{3 n} ≦ \frac{π}{3}$ すなわち $k ≦ n$ である。よって $g_{n} (k - 1) ≧ g_{n} (k)$ となる $k$ は $2 ≦ k ≦ n$ である。

次に $1 ≦ k ≦ 3 n$ における最小を調べる。上の結果より、 $k = 2, 3, \dots, n - 1$ では $g_{n} (k) < g_{n} (k - 1)$ であり、 $k = n$ では $f (\frac{π}{3}) = 0$ なので $g_{n} (n) = g_{n} (n - 1)$ である。 $k > n$ では $f (k π / (3 n)) > 0$ となるため、以後は増加する。したがって $g_{n} (k)$ を最小にする $k$ は $k = n - 1, n$ である。

(2)

最小値は $g_{n} (n - 1) = g_{n} (n)$ であるから、計算しやすいように $G_{n} = g_{n} (n)$ としてよい。すると $\frac{G _{n}}{n} = \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} f (\frac{j π}{3 n})$ である。これは関数 $f (π x /3)$ の $0 ≦ x ≦ 1$ におけるリーマン和であるから

n \to \infty lim \frac{G _{n}}{n} = \int_{0}^{1} f (\frac{π x}{3}) d x

である。 $u = π x /3$ とおくと $d x = 3 d u / π$ であり、

\int_{0}^{1} f (\frac{π x}{3}) d x = \frac{3}{π} \int_{0}^{π /3} (4 cos^{2} u - 8 cos u + 3) d u

となる。ここで $\int (4 cos^{2} u - 8 cos u + 3) d u = 5 u + sin 2 u - 8 sin u$ である。したがって

\int_{0}^{π /3} (4 cos^{2} u - 8 cos u + 3) d u = \frac{5 π}{3} + \frac{3}{2} - 43

$= \frac{5 π}{3} - \frac{7 3}{2}$ である。よって

n \to \infty lim \frac{G _{n}}{n} = \frac{3}{π} (\frac{5 π}{3} - \frac{7 3}{2}) = 5 - \frac{21 3}{2 π}

である。

別解。(2)は三角関数の和を用いても求められる。 $α = π / (3 n)$ とおくと $G_{n} = \sum_{j = 1}^{n} {4 cos^{2} (j α) - 8 cos (j α) + 3}$ である。 $4 cos^{2} θ = 2 + 2 cos 2 θ$ より

\frac{G _{n}}{n} = 5 + \frac{2}{n} j = 1 \sum n cos (2 j α) - \frac{8}{n} j = 1 \sum n cos (j α)

となる。和の公式

j = 1 \sum n cos (j β) = \frac{sin ( n β /2 ) cos (( n + 1 ) β /2 )}{sin ( β /2 )}

を使うと、 $n \to \infty$ で

\frac{1}{n} j = 1 \sum n cos (j α) \to \frac{3 3}{2 π}, \frac{1}{n} j = 1 \sum n cos (2 j α) \to \frac{3 3}{4 π}

である。これを代入しても

5 + 2 \cdot \frac{3 3}{4 π} - 8 \cdot \frac{3 3}{2 π} = 5 - \frac{21 3}{2 π}

を得る。

大阪大学 2001年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

大阪大学 2001年度
理系数学第4問