問題
とおく．曲線に点から接線がただひとつ引けるとし，しかもその接線はただ1点でこの曲線に接するとする．このときのの値を求めよ．
出典：大阪大学 2001年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第2問
方針
接点の 座標を とおくと、曲線の接線が点 を通る条件は、接線の 切片が であること、すなわち に等しい。この右辺を として増減を調べ、方程式 がただ1つの実数解をもつ を探す。最後に、そのときの接線が曲線に他の点で接していないことを、接線と曲線の交点方程式の因数分解で確認する。
解答
接点の 座標を とする。曲線 の における接線は である。この直線が点 を通るための条件は である。
ここで だから である。したがって である。これを とおく。 の増減を調べる。 である。臨界点は であり、値は である。また のとき である。
増減は、 で増加、 で減少、 で増加、 で減少である。したがって水平線 がグラフ とただ1点で交わるのは、最大値 をとる の場合だけである。このとき接点は である。
最後に、対応する接線が曲線にただ1点で接することを確認する。 では だから接線は である。曲線との交点は で調べられ、左辺は と因数分解できる。 では重なって接しており、 では単に交わるだけで接していない。したがってこの接線が曲線に接する点は のただ1点である。
以上より、求める値は である。