問題
半径1の円周上に，個の点が，反時計回りに等間隔に並んでいるとする．ただし，は自然数である．
(1) 線分の長さが以上となるの範囲を求めよ．
(2) 点のうちの相異なる3点を頂点に持つ三角形のうち，各辺の長さがすべて以上になるものの個数を求めよ．
方針
(1)は半径1の円の弦の長さを中心角で表し、 を解く。(2)は三角形の3頂点を円周上に反時計回りに並べ、その間の点間隔を とおく。各辺の長さが 以上であることは、それぞれの円周上の間隔が少なくとも であることに等しい。よって 、 の正整数条件を数え、最後に始点の選び方 通りと、同じ三角形を3回数える補正を入れる。
解答
(1)
隣り合う点の中心角は である。したがって線分 に対応する中心角は である。半径1の円で中心角 に対する弦の長さは だから である。ここで では なので、正弦は非負である。
よって は と同値であり、 である。したがって である。
(2)
条件を満たす三角形の3頂点を円周上で反時計回りに見て、隣り合う選択頂点の間隔をそれぞれ とする。ここで は点の個数の刻みで測った正整数であり、円を1周するので である。
(1)より、2点間の弦の長さが 以上であるためには、その間隔が 以上 以下であればよい。三角形の3辺すべてについてこれが成り立つためには が必要十分である。実際、この3つが成り立てば、 から各間隔が を超えることはない。
そこで とおくと であり、 は非負整数である。この解の個数は である。
始点となる頂点を 通りに選び、その後の間隔 を選ぶと条件を満たす三角形が得られる。ただし、同じ三角形は3つの頂点のどれを始点にするかで3回数えられる。したがって求める個数は である。整理すると である。
別解。(2)では、まず点 を三角形の1頂点として含む場合を数える。 から反時計回りに次の頂点までの間隔を 、さらに次の頂点までを 、最後に へ戻る間隔を とすると、同じく 、 である。よって を含む条件付きの三角形は 個ある。回転対称性により全頂点について 倍し、各三角形は3頂点から数えられるので3で割れば、同じ式を得る。