問題
1辺の長さが4の正方形の紙の表（おもて）を，図のように1辺の長さが1のマス目16個に区切る．その紙を2枚用意し，との2人に渡す．とはそれぞれ渡された紙の2個のマス目を無作為に選んで塗りつぶす．塗りつぶしたあと，両方の紙を表を上にしてどのように重ね合わせても，塗りつぶされたマス目がどれも重ならない確率を求めよ．ただし，2枚の紙を重ね合わせるときには，それぞれの紙を回転させてもよいが，紙の四隅は合わせることとする．
方針
紙を重ねるときに回転が許されるので、相対的な回転は の4通りである。したがって、Aの塗った2マスを4回回転して現れるすべてのマスが、Bにとっての禁止マスになる。4×4の16マスは回転で4マスずつの軌道4組に分かれるので、Aの2マスが同じ軌道にあるか、異なる軌道にあるかで禁止マスの個数が4個か8個に分かれる。各場合のAの選び方と、残りからBが2マス選ぶ方法を掛けて数える。
解答
2枚の紙は四隅を合わせ、回転して重ねることができる。したがって、Aの紙を固定して考えると、Bの紙は相対的に のいずれかだけ回転して重ねられる。どの重ね方でも塗りつぶされたマスが重ならないためには、Bの選んだマスが、Aの選んだマスをこれら4回の回転で動かして現れるすべてのマスを避けていなければならない。
4×4の16個のマスは、正方形の中心まわりの 回転によって、4個ずつの軌道4組に分かれる。Aが選ぶ2マスの総数は 通りである。
まず、Aの2マスが同じ軌道に属する場合を考える。4つの軌道の選び方が4通りあり、その軌道内で2マスを選ぶ方法が 通りあるので、この場合のAの選び方は 通りである。このとき、Aの2マスを回転して現れる禁止マスは、その軌道全体の4個である。したがってBは残り12個のマスから2個を選べばよく、その方法は 通りである。
次に、Aの2マスが異なる軌道に属する場合を考える。この場合のAの選び方は 通りである。Aの2マスが属する2つの軌道は、回転によってそれぞれ全体が禁止されるので、禁止マスは 個である。したがってBは残り8個のマスから2個を選べばよく、その方法は 通りである。
よって、条件を満たすAとBの選び方は 通りである。一方、AとBがそれぞれ自由に2マスを選ぶ全体の場合の数は 通りである。したがって求める確率は である。