問題
平面上に，点を中心とし点，，，，，を頂点とする正六角形がある．を通りその平面上にある直線を考え，各ととの距離をそれぞれとする．このとき
はによらず一定であることを示し，その値を求めよ．ただし，とする．
出典：大阪大学 1999年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第3問
方針
直線 と頂点方向のなす角を使い、各頂点から までの距離を と表す。正六角形の頂点方向は ずつ等間隔なので、 の和を に直すと、 ずつ進む余弦の和が2組現れて0になる。したがって は直線の向きによらず になる。別の見方では、直線を 軸にとって6頂点の 座標の二乗和を直接計算してもよい。
解答
直線 の方向角を とし、頂点 の方向角を とする。 であるから、点 から直線 までの距離は である。したがって である。
ここで を用いると
である。角 は、 が1つ増えるごとに ずつ増える。したがって、6つの項は
の余弦であり、同じ3項の組が2回現れる。ところが なので である。よって となり、 である。これは 、すなわち直線 の向きによらない。
別解。直線 を新しい 軸にとる。このとき各 は、対応する頂点の 座標の二乗である。正六角形の6頂点は、ある角 を用いて
を 座標にもつ。したがって結局 を求めればよく、上と同じ計算でこの和は になる。