問題
空間内に2つの立体とがある．どのようなに対しても，平面による立体の切り口は3点，，を頂点とする正三角形である．また，どのようなに対しても，平面による立体の切り口は3点，，を頂点とする正三角形である．
このとき，立体との共通部分の体積を求めよ．
出典：大阪大学 1999年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第4問
方針
立体 は、 方向に同じ正三角形断面をもつ柱であり、 は 方向に同じ正三角形断面をもつ柱である。共通部分では、同じ に対して が許す の長さと が許す の長さを掛ければ、その における断面積になる。 の三角形では の長さが と で分かれ、 の三角形では の長さが になるので、これを から1まで積分する。
解答
立体 は、どの高さ で切っても、 平面内の同じ正三角形 を断面にもつ柱である。したがって に属する点は、 がこの三角形の内部または周上にある点である。
この三角形で、 を固定したときの の範囲を求める。 では左辺の直線が であり、 では右辺の直線が である。したがって が許す 方向の長さは
である。
一方、立体 は、どの で切っても、 平面内の三角形
を断面にもつ柱である。この三角形で を固定すると、下側の直線は であり、上側の直線は である。したがって が許す 方向の長さは である。
共通部分では、同じ に対して、 の条件と の条件は独立に決まる。よって における断面積は「 方向の長さ 方向の長さ」である。したがって求める体積 は
である。整理すると である。
それぞれ計算して
であり、
である。よって である。