大阪大学 1999年度
理系数学 第2問

解答

3つの頂点がすべて有理点である正三角形が存在すると仮定する。そのうち2点を $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ とする。ここで $x_1,y_1,x_2,y_2$ はすべて有理数であり、$A\ne B$ である。

線分 $AB$ の中点は $\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)$ である。また、ベクトル $(x_2-x_1,y_2-y_1)$ を $90^{\circ }$ 回転したベクトルは $(-(y_2-y_1),x_2-x_1)$ である。正三角形の第三の頂点は、中点からこの垂直方向へ $\sqrt{3}/2$ 倍だけ進んだ点なので、2通りの候補は

である。

この第三の頂点も有理点であるとする。$A\ne B$ なので、$x_2-x_1$, $y_2-y_1$ の少なくとも一方は0でない有理数である。

もし $y_2-y_1\ne 0$ なら、第三頂点の $x$ 座標が有理数であることから $\frac{\sqrt{3}}{2}(y_2-y_1)$ が有理数になる。$y_2-y_1$ は非零有理数なので、これは $\sqrt{3}$ が有理数であることを意味し、矛盾である。

もし $y_2-y_1=0$ なら、必ず $x_2-x_1\ne 0$ である。この場合は第三頂点の $y$ 座標が有理数であることから $\frac{\sqrt{3}}{2}(x_2-x_1)$ が有理数になり、やはり $\sqrt{3}$ が有理数となって矛盾する。

したがって、3つの頂点がすべて有理点である正三角形は存在しない。

別解。座標がすべて有理数である三角形の面積は有理数である。実際、3頂点を $(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)$ とすると、面積は $\frac{1}{2}\left|(x_2-x_1)(y_3-y_1)-(x_3-x_1)(y_2-y_1)\right|$ であり、右辺は有理数である。一方、正三角形の1辺の長さの2乗は $(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2$ であり、これは正の有理数である。正三角形の面積は $\frac{\sqrt{3}}{4}\{\text{1辺の長さ}{\}}^2$ だから、正の有理数に $\sqrt{3}$ を掛けた数になり、無理数である。これは面積が有理数であることに反する。