大阪大学 1999年度
理系数学 第1問

解答

(1)

$x_2-x_1=c$ であり、$y_1=e^{x_1}$, $y_2=e^{x_2}$ だから $y_2=e^{x_2}=e^{x_1+c}=e^c{y}_1$ である。また、2点 $P,Q$ を通る直線の傾きは $a$ なので $a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{y_1(e^c-1)}{c}$ である。よって $y_1=\frac{ac}{e^c-1}$ であり、さらに $y_2=e^c{y}_1=\frac{ac{e}^c}{e^c-1}$ である。したがって $y_1=\frac{ac}{e^c-1},y_2=\frac{ac{e}^c}{e^c-1}$ である。

(2)

$PQ=1$ である。横方向の差は $c$、縦方向の差は、直線の傾きが $a$ であることから $y_2-y_1=ac$ である。したがって $1^2=P{Q}^2=c^2+(ac{)}^2=(1+a^2)c^2$ である。$c=x_2-x_1>0$ だから $c=\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}$ である。特に $a\to \infty$ のとき $c\to 0$ かつ $ac=\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}\to 1$ である。

曲線 $C:y=e^x$ と $x$ 軸、および2直線 $x=x_1$, $x=x_2$ で囲まれた図形を $x$ 軸のまわりに回転するので、体積は $V(a)=\pi {\int }_{x_1}^{x_2}(e^x{)}^{2}dx=\pi {\int }_{x_1}^{x_2}{e}^{2x}dx$ である。したがって

である。

(1)の結果を代入すると $y_2^2-y_1^2={\left(\frac{ac}{e^c-1}\right)}^2(e^{2c}-1)$ $=a^2{c}^2\frac{(e^c-1)(e^c+1)}{(e^c-1{)}^2}=a^2{c}^2\frac{e^c+1}{e^c-1}$ である。よって $V(a)=\frac{\pi }{2}{a}^2{c}^2\frac{e^c+1}{e^c-1}$ となる。したがって $\frac{V(a)}{a}=\frac{\pi }{2}(ac)c\frac{e^c+1}{e^c-1}$ である。

ここで ${\lim }_{c\to 0}\frac{e^c-1}{c}=1,{\lim }_{c\to 0}(e^c+1)=2$ より ${\lim }_{c\to 0}c\frac{e^c+1}{e^c-1}=2$ である。したがって

である。