大阪大学 1997年度理系数学第5問解答・解説

問題

関数 $f (θ) = 2 sin^{2} θ + cos θ$ に対し，次の条件を満たす正の数 $a$ を考える．

{∣ θ ∣ < a ならば f (θ) > 0 ∣ θ ∣ = a ならば f (θ) = 0

(1) $a$ の値を求めよ．

(2) 曲線 $C$ を媒介変数 $θ$ $(- a ≦ θ ≦ a)$ を用いて

C : {x = f (θ) y = sin θ

で定める． $x$ 軸に平行な直線 $y = t$ と曲線 $C$ が共有点をもつような実数 $t$ の範囲を求め，共有点の $x$ 座標を $t$ で表せ．

(3) 曲線 $C$ と $y$ 軸とで囲まれる図形を， $y$ 軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ．

出典：大阪大学 1997年度前期日程第2次学力試験理系第5問

方針

(1)は $c = cos θ$ と置いて $f (θ) = 2 (1 - c^{2}) + c$ の零点を求め、 $f (0) > 0$ と偶関数であることから境界 $a$ を決める。(2)では $y = t$ すなわち $sin θ = t$ が、区間 $[- 3 π /4, 3 π /4]$ で何個の解をもつかを調べる。 $cos θ$ が正の枝と負の枝に分かれるので、 $x = 2 t^{2} \pm 1 - t^{2}$ を範囲ごとに整理する。(3)は水平切片を $y$ 軸まわりに回転する。 $- 1/ 2 ≦ t ≦ 1/ 2$ では円板、 $1/ 2 ≦ t ≦ 1$ では2本の枝の間の輪として積分する。

解答

(1)

$c = cos θ$ とおくと $sin^{2} θ = 1 - c^{2}$ であるから $f (θ) = 2 (1 - c^{2}) + c$ である。 $f (θ) = 0$ は $2 c^{2} - c - 2 = 0$ と同値である。これを解くと $c = \frac{1 \pm 3}{2 2}$ であり、 $- 1 ≦ c ≦ 1$ を満たす解は $c = - \frac{1}{2}$ だけである。

したがって零点は $cos θ = - \frac{1}{2}$ を満たす点である。 $f (0) = 1 > 0$ であり、 $f$ は偶関数なので、原点を中心に $f (θ) > 0$ となる最大の対称区間は $∣ θ ∣ < \frac{3 π}{4}$ である。よって $a = \frac{3 π}{4}$ である。

(2)

$- a ≦ θ ≦ a$ より $- \frac{3 π}{4} ≦ θ ≦ \frac{3 π}{4}$ である。この区間で $t = sin θ$ が取り得る値は $- \frac{1}{2} ≦ t ≦ 1$ である。

共有点では $t = sin θ$ であり $x = f (θ) = 2 sin^{2} θ + cos θ = 2 t^{2} + cos θ$ である。したがって $cos θ$ の符号を考えればよい。 $- \frac{1}{2} < t < \frac{1}{2}$ のとき、この区間内で $sin θ = t$ を満たす点は $cos θ > 0$ の枝だけである。よって $x = 2 t^{2} + 1 - t^{2}$ である。 $\frac{1}{2} ≦ t ≦ 1$ のとき、 $sin θ = t$ を満たす点は、 $cos θ ≧ 0$ の枝と $cos θ ≦ 0$ の枝の2つである。ただし $t = 1$ では同じ点になる。したがって共有点の $x$ 座標は $x = 2 t^{2} \pm 1 - t^{2}$ である。

また $t = - 1/ 2$ では、 $θ = - 3 π /4$ と $θ = - π /4$ があり、 $x$ 座標は $0, 2$ である。以上より、共有点をもつ $t$ の範囲は $- \frac{1}{2} ≦ t ≦ 1$ であり、共有点の $x$ 座標は

⎩ ⎨ ⎧ 0, 2 2 t^{2} + 1 - t^{2} 2 t^{2} \pm 1 - t^{2} (t = - \frac{1}{2}), (- \frac{1}{2} < t < \frac{1}{2}), (\frac{1}{2} ≦ t ≦ 1)

である。 $t = 1$ では複号の2つの値は一致する。

(3)

$x_{+} (t) = 2 t^{2} + 1 - t^{2}, x_{-} (t) = 2 t^{2} - 1 - t^{2}$ とおく。 $- 1/ 2 ≦ t ≦ 1/ 2$ では、水平切片は $y$ 軸から $x = x_{+} (t)$ までである。したがって回転してできる断面積は $π x_{+} (t)^{2}$ である。一方、 $1/ 2 ≦ t ≦ 1$ では、水平切片は2つの枝 $x = x_{-} (t)$ と $x = x_{+} (t)$ の間である。したがって回転してできる断面積は $π {x_{+} (t)^{2} - x_{-} (t)^{2}}$ である。

よって体積 $V$ は $V = π I_{1} + π I_{2}$ ただし

I_{1} = \int_{- 1/ 2}^{1/ 2} x_{+} (t)^{2} d t, I_{2} = \int_{1/ 2}^{1} {x_{+} (t)^{2} - x_{-} (t)^{2}} d t

である。

まず $x_{+} (t)^{2} = 2 t^{4} + 1 - t^{2} + 22 t^{2} 1 - t^{2}$ なので $\int_{- 1/ 2}^{1/ 2} (2 t^{4} + 1 - t^{2}) d t = \frac{14 2}{15}$ である。また、 $t = sin ϕ$ とおくと

\int_{- 1/ 2}^{1/ 2} 22 t^{2} 1 - t^{2} d t = 42 \int_{0}^{π /4} sin^{2} ϕ cos^{2} ϕ d ϕ = \frac{2 π}{8}

である。したがって

I_{1} = \frac{14 2}{15} + \frac{2 π}{8} = \frac{2 ( 15 π + 112 )}{120}

である。

次に $x_{+} (t)^{2} - x_{-} (t)^{2} = 42 t^{2} 1 - t^{2}$ である。同じく $t = sin ϕ$ とおくと

I_{2} = 42 \int_{π /4}^{π /2} sin^{2} ϕ cos^{2} ϕ d ϕ = \frac{2 π}{8}

である。

よって

I_{1} + I_{2} = \frac{2 ( 15 π + 112 )}{120} + \frac{2 π}{8} = \frac{2 ( 15 π + 56 )}{60}

である。したがって求める体積は $V = \frac{2 π ( 15 π + 56 )}{60}$ である。

大阪大学 1997年度理系数学 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

大阪大学 1997年度
理系数学第5問