大阪大学 1997年度理系数学第2問解答・解説

問題

平面上において，直線 $l$ と $l$ 上にない点 $A$ をとる．
直線 $l$ 上に点 $B$ を線分 $A B$ と直線 $l$ が直交するようにとり，点 $B$ を中心として直線 $l$ を角度 $θ$ だけ回転して得られる直線を $m$ とする．
直線 $l$ 上にない点 $P$ をとり，直線 $l$ に関して $P$ と対称な点 $Q$ をとる．また点 $A$ を中心として点 $Q$ を角度 $2 θ$ だけ回転して得られる点を $R$ とする．
このとき線分 $P R$ の中点 $M$ は直線 $m$ 上にあることを証明せよ．

出典：大阪大学 1997年度前期日程第2次学力試験理系第2問

方針

座標を取り、 $l$ を $x$ 軸、垂線の足 $B$ を原点、 $A = (0, h)$ とする。 $P = (u, v)$ なら $l$ に関する対称点は $Q = (u, - v)$ である。 $Q$ を $A$ 中心に $2 θ$ だけ回転した点 $R$ の座標を倍角公式で表し、 $M$ の座標を計算する。直線 $m$ は原点を通り方向角 $θ$ をもつので、方程式 $y cos θ - x sin θ = 0$ を満たせばよい。最後は $M$ をこの式に代入し、 $sin 2 θ$ , $cos 2 θ$ で項が消えることを示す。

解答

座標を、直線 $l$ が $x$ 軸、点 $B$ が原点、点 $A$ が $A = (0, h)$ となるようにとる。ただし $h \neq = 0$ である。このとき、直線 $m$ は原点を通り、 $x$ 軸となす角が $θ$ の直線である。したがって $m$ の方程式は $y cos θ - x sin θ = 0$ である。 $P = (u, v)$ とおく。 $P$ は $l$ 上にないので $v \neq = 0$ である。 $x$ 軸に関して対称な点は $Q = (u, - v)$ である。点 $A$ から見た $Q$ の位置ベクトルは $(u, - v - h)$ である。これを角 $2 θ$ だけ回転すると

(u cos 2 θ + (v + h) sin 2 θ, u sin 2 θ - (v + h) cos 2 θ)

である。したがって

R = (u cos 2 θ + (v + h) sin 2 θ, h + u sin 2 θ - (v + h) cos 2 θ)

である。

線分 $P R$ の中点 $M = (X_{M}, Y_{M})$ は $X_{M} = \frac{u + u c o s 2 θ + ( v + h ) s i n 2 θ}{2}$ $Y_{M} = \frac{v + h + u s i n 2 θ - ( v + h ) c o s 2 θ}{2}$ である。 $M$ が $m$ 上にあることを示すには $Y_{M} cos θ - X_{M} sin θ = 0$ を示せばよい。 $c = cos θ$ , $s = sin θ$ , $w = v + h$ とおく。倍角公式 $sin 2 θ = 2 sc, cos 2 θ = c^{2} - s^{2}$ を用いると

2 (Y_{M} c - X_{M} s) = {w + 2 u sc - w (c^{2} - s^{2})} c - {u + u (c^{2} - s^{2}) + 2 w sc} s = w (1 - c^{2} + s^{2}) c - 2 w s^{2} c + 2 u s c^{2} - u (1 + c^{2} - s^{2}) s = 2 w s^{2} c - 2 w s^{2} c + u s (2 c^{2} - 1 - c^{2} + s^{2}) = u s (c^{2} + s^{2} - 1) = 0.

よって $Y_{M} cos θ - X_{M} sin θ = 0$ である。したがって $M$ は直線 $m$ 上にある。

大阪大学 1997年度理系数学 第2問

問題

方針

解答

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理系数学第2問