大阪大学 1997年度理系数学第3問解答・解説

問題

楕円 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ と双曲線 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{c ^{2}} = 1$ $(c > 0)$ を考える．点 $P (s, t)$ $(s > 0, t > 0)$ を双曲線上にとり，原点 $O$ と点 $P$ を結ぶ線分と楕円の交点を $Q$ とする．点 $P$ における双曲線の接線が $x$ 軸と交わる点を $A$ ，点 $Q$ における楕円の接線が $x$ 軸と交わる点を $B$ とする．
点 $P$ を直線 $P A$ と直線 $QB$ が直交するようにとるとき，以下の問に答えよ．

(1) 点 $P$ の座標を求めよ．

(2) 点 $A$ ， $B$ はそれぞれ楕円，双曲線の焦点であることを示せ．

(3) $k$ を $0 < k < 1$ を満たす定数とする． $a$ ， $b$ ， $c$ が $a^{2} + c^{2} = 1$ ， $a^{2} - b^{2} = k^{2}$ を満たしながら変化するとき，直線 $P A$ と直線 $QB$ の交点 $R$ の $y$ 座標が最大となるような $a$ ， $b$ ， $c$ を求めよ．

出典：大阪大学 1997年度前期日程第2次学力試験理系第3問

方針

双曲線と楕円の接線を標準形から書き、まず $x$ 軸との交点 $A, B$ を求める。点 $Q$ は $O P$ 上にあるので $Q = λ P$ と置くと、楕円の接線の式と傾きが整理しやすい。直交条件は、直線 $P A$ の傾きと $QB$ の傾きの積が $- 1$ であることから得る。これを双曲線の条件と連立して $P$ を決める。(2)では得られた $A, B$ の座標を焦点の公式と照合する。(3)では条件から $A = (k, 0)$ , $B = (1, 0)$ となることを使い、交点 $R$ の $y$ 座標を $b c (1 - k) / (b^{2} + c^{2})$ に直して、 $b^{2} + c^{2}$ 一定のもとで $b c$ を最大にする。

解答

(1)

点 $Q$ は線分 $O P$ 上にあるので $Q = (λ s, λ t)$ とおく。ただし $λ > 0$ である。

双曲線 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{c ^{2}} = 1$ の点 $P (s, t)$ における接線は $\frac{s x}{a ^{2}} - \frac{t y}{c ^{2}} = 1$ である。これが $x$ 軸と交わる点は、 $y = 0$ として $A = (\frac{a ^{2}}{s}, 0)$ である。この接線、すなわち直線 $P A$ の傾きは $\frac{s c ^{2}}{a ^{2} t}$ である。

一方、楕円 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ の点 $Q = (λ s, λ t)$ における接線は $\frac{λ s x}{a ^{2}} + \frac{λ t y}{b ^{2}} = 1$ である。したがって $B = (\frac{a ^{2}}{λ s}, 0)$ であり、直線 $QB$ の傾きは $- \frac{s b ^{2}}{a ^{2} t}$ である。

直線 $P A$ と $QB$ が直交するから、2つの傾きの積は $- 1$ である。よって $\frac{s c ^{2}}{a ^{2} t} (- \frac{s b ^{2}}{a ^{2} t}) = - 1$ すなわち $s^{2} b^{2} c^{2} = a^{4} t^{2}$ である。 $s, t, b, c > 0$ なので $t = \frac{s b c}{a ^{2}}$ である。

また $P$ は双曲線上にあるから $\frac{s ^{2}}{a ^{2}} - \frac{t ^{2}}{c ^{2}} = 1$ である。ここに $t = s b c / a^{2}$ を代入すると $\frac{s ^{2}}{a ^{2}} - \frac{s ^{2} b ^{2}}{a ^{4}} = 1$ であり $s^{2} (a^{2} - b^{2}) = a^{4}$ となる。 $s > 0$ より $s = \frac{a ^{2}}{a ^{2} - b ^{2}}$ である。したがって $t = \frac{b c}{a ^{2} - b ^{2}}$ である。ゆえに $P = (\frac{a ^{2}}{a ^{2} - b ^{2}}, \frac{b c}{a ^{2} - b ^{2}})$ である。

(2)

(1)より $A = (\frac{a ^{2}}{s}, 0) = (a^{2} - b^{2}, 0)$ である。楕円 $x^{2} / a^{2} + y^{2} / b^{2} = 1$ の焦点は $(\pm a^{2} - b^{2}, 0)$ であるから、 $A$ は楕円の右焦点である。

次に $B$ を求める。 $Q = λ P$ が楕円上にあるので $λ^{2} (\frac{s ^{2}}{a ^{2}} + \frac{t ^{2}}{b ^{2}}) = 1$ である。(1)の $s, t$ を代入すると

\frac{s ^{2}}{a ^{2}} + \frac{t ^{2}}{b ^{2}} = \frac{a ^{2}}{a ^{2} - b ^{2}} + \frac{c ^{2}}{a ^{2} - b ^{2}} = \frac{a ^{2} + c ^{2}}{a ^{2} - b ^{2}}

である。よって $λ = \frac{a ^{2} - b ^{2}}{a ^{2} + c ^{2}}$ である。したがって $B = (\frac{a ^{2}}{λ s}, 0) = (a^{2} + c^{2}, 0)$ である。双曲線 $x^{2} / a^{2} - y^{2} / c^{2} = 1$ の焦点は $(\pm a^{2} + c^{2}, 0)$ であるから、 $B$ は双曲線の右焦点である。

(3)

条件 $a^{2} - b^{2} = k^{2}, a^{2} + c^{2} = 1$ より、(2)の結果から $A = (k, 0), B = (1, 0)$ である。また(1)より $P = (\frac{a ^{2}}{k}, \frac{b c}{k})$ である。さらに $λ = k$ なので $Q = (a^{2}, b c)$ である。

直線 $P A$ の傾きは $\frac{b c / k}{a ^{2} / k - k} = \frac{b c}{a ^{2} - k ^{2}} = \frac{c}{b}$ である。直線 $QB$ の傾きは $\frac{b c}{a ^{2} - 1} = - \frac{b}{c}$ である。交点 $R$ の $y$ 座標を求めるため、直線 $P A$ , $QB$ を $y = \frac{c}{b} (x - k), y = - \frac{b}{c} (x - 1)$ と書く。これらを連立すると $\frac{c}{b} (x - k) = - \frac{b}{c} (x - 1)$ より $c^{2} (x - k) = - b^{2} (x - 1)$ であり $x = \frac{b ^{2} + c ^{2} k}{b ^{2} + c ^{2}}$ である。したがって

y = \frac{c}{b} (\frac{b ^{2} + c ^{2} k}{b ^{2} + c ^{2}} - k) = \frac{b c ( 1 - k )}{b ^{2} + c ^{2}}

である。

ここで $b^{2} + c^{2} = (a^{2} - k^{2}) + (1 - a^{2}) = 1 - k^{2}$ は一定である。また $0 < k < 1$ なので $1 - k > 0$ である。したがって $R$ の $y$ 座標を最大にするには、 $b^{2} + c^{2}$ 一定のもとで $b c$ を最大にすればよい。 $(b - c)^{2} ≧ 0$ より $2 b c ≦ b^{2} + c^{2}$ であり、等号は $b = c$ のときである。よって最大となるのは $b^{2} = c^{2} = \frac{1 - k ^{2}}{2}$ のときである。 $b, c > 0$ だから $b = c = \frac{1 - k ^{2}}{2}$ であり、さらに $a^{2} = b^{2} + k^{2} = \frac{1 + k ^{2}}{2}$ である。したがって求める値は $a = \frac{1 + k ^{2}}{2}, b = c = \frac{1 - k ^{2}}{2}$ である。

大阪大学 1997年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

大阪大学 1997年度
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