大阪大学 1997年度
理系数学 第4問

解答

曲線$y=e^x$上の接点を $(t,e^t)$ とおく。この点における接線の傾きは$e^t$であるから、法線の傾きは $-e^{-t}$ である。したがって法線の方程式は $y-e^t=-e^{-t}(x-t)$ である。

この法線が点$P(a,3)$を通る条件は $3-e^t=-e^{-t}(a-t)$ である。両辺に$e^t$を掛けると $3e^t-e^{2t}=-(a-t)$ であり、整理して $a=t-3e^t+e^{2t}$ を得る。

そこで $F(t)=t-3e^t+e^{2t}$ とおく。求める$n(a)$は、方程式 $F(t)=a$ の実数解の個数である。

微分すると $F^{\prime }(t)=1-3e^t+2e^{2t}=(e^t-1)(2e^t-1)$ である。したがって臨界点は $e^t=\frac{1}{2},e^t=1$ すなわち $t=-\log 2,t=0$ である。$F^{\prime }(t)$の符号は、$t<-\log 2$で正、$-\log 2<t<0$で負、$0<t$で正である。よって$F$は$t=-\log 2$で極大、$t=0$で極小をとる。

その値は $F(-\log 2)=-\log 2-\frac{3}{2}+\frac{1}{4}=-\log 2-\frac{5}{4}$ であり $F(0)=0-3+1=-2$ である。また ${\lim }_{t\to -\infty }F(t)=-\infty ,{\lim }_{t\to \infty }F(t)=\infty$ である。さらに $-\log 2-\frac{5}{4}>-2$ である。

以上の増減から、水平線$y=a$との交点数は次のように決まる。

これが求める個数である。

別解。法線条件は距離の微分からも導ける。点$(t,e^t)$と$P(a,3)$を結ぶ線分が接線に垂直であることは、距離の2乗 $G(t)=(t-a{)}^2+(e^t-3{)}^2$ が接点の位置で停留することと同じである。したがって $G^{\prime }(t)=2(t-a)+2e^t(e^t-3)=0$ となり $a=t-3e^t+e^{2t}$ を得る。以後は主解と同じく$F(t)=t-3e^t+e^{2t}$の増減を調べれば、同じ場合分けになる。