問題
黒玉が2個入っている箱がある．いま，次のような試行を繰り返す．箱から無作為に玉を1個取り出す．もし取り出した玉が黒玉ならばさいころを投げ，出た目が4以下のときはそれをそのまま箱に戻し，出た目が5以上のときはそれを白玉と取りかえて箱に戻す．もし取り出した玉が白玉ならばそのまま箱に戻す．
回目の試行が終わったとき箱に入っている白玉の数をとし，である事象の起こる確率をで表す．
ただし，とする．次の問いに答えよ．
(1) 事象およびのそれぞれのもとで事象の起こる条件つき確率を求めよ．
(2) をを用いて表せ．
(3) の確率分布を求めよ．
(4) 回目の試行が終わったときに箱に入っている白玉の数がはじめて2個になる確率を求めよ．
方針
白玉の個数が の場合に分け、黒玉を取り出してさらに 以上を出すときだけ白玉が一つ増えることを使う。 と の漸化式を作り、等比数列の和で解く。最後の「はじめて 個」は、直前に 個で最後の試行で増える場合に限られる。
解答
(1)
のとき、箱の中の二つはどちらも黒玉である。取り出した黒玉が白玉に替わるのは、さいころの目が 以上のときであり、その確率は である。したがって である。
次に のとき、白玉は一つ、黒玉も一つである。 のままであるのは、白玉を取り出す場合、または黒玉を取り出してもさいころの目が 以下の場合である。よって
である。
(2)
となるには、直前が 個で今回 個に増えるか、直前が 個で今回も 個のままであるかのどちらかである。したがって である。
また、 であり続けるには、各回で白玉への取り替えが起こらないことが必要十分である。 のとき取り替えが起こらない確率は なので である。よって (2) は とも書ける。
(3)
とおく。 であり、(2) より である。これを繰り返すと
となる。右辺は等比数列の和で、
である。
したがって
である。よって確率分布は
である。
別解。二つの黒玉を区別して考える。一つの指定した黒玉が一回の試行で白玉に替わる確率は、それが選ばれ、かつさいころで 以上が出る確率なので である。したがって指定した黒玉が 回後も黒玉のままである確率は である。また、二つとも黒玉のままである確率は である。これを用いると、白玉が一つだけである確率は「どちらの玉が残るか」の 通りにより となり、同じ分布が得られる。
(4)
回目の試行が終わったときにはじめて白玉が二つになるには、 回目終了時に白玉が一つで、 回目に残りの黒玉が白玉へ替わればよい。 のとき、残りの黒玉を取り出す確率は 、その後さいころで 以上が出る確率は なので、増える確率は である。したがって求める確率は
すなわち
である。 のときも右辺は となり、実際に一回で白玉が二つになることはない。