大阪大学 1996年度理系数学第3問解答・解説

問題

$n$ を2以上の自然数とする．次の問いに答えよ．

(1) 不等式 $n lo g n - n + 1 < k = 1 \sum n lo g k < (n + 1) lo g n - n + 1$ が成り立つことを示せ．

(2) 極限値 $n \to \infty lim (n!)^{\frac{1}{n l o g n}}$ を求めよ．

出典：大阪大学 1996年度前期日程第2次学力試験理系第3問

方針

$lo g x$ が増加関数であることを使い、各区間 $[k - 1, k]$ と $[k, k + 1]$ の積分で $lo g k$ を上下からはさむ。得られた評価を $n lo g n$ で割り、 $lo g (n!)$ の比の極限を先に求めてから指数の極限へ戻す。

解答

(1)

$lo g x$ は $x > 0$ で増加関数である。 $k = 2, 3, \dots, n$ に対して、区間 $[k - 1, k]$ 上では $lo g x ≦ lo g k$ であり、端点以外では厳密に小さい。したがって $\int_{k - 1}^{k} lo g x d x < lo g k$ である。これを $k = 2$ から $n$ まで足すと、 $lo g 1 = 0$ より $\int_{1}^{n} lo g x d x < \sum_{k = 1}^{n} lo g k$ を得る。左辺は $\int_{1}^{n} lo g x d x = [x lo g x - x]_{1}^{n} = n lo g n - n + 1$ であるから $n lo g n - n + 1 < \sum_{k = 1}^{n} lo g k$ である。

次に $k = 1, 2, \dots, n - 1$ に対して、区間 $[k, k + 1]$ 上では $lo g k ≦ lo g x$ であり、 $k = 1$ の場合も含めて積分すれば $lo g k < \int_{k}^{k + 1} lo g x d x$ が成り立つ。ただし $k = 1$ では左辺は $0$ であり、右辺は正である。よって $\sum_{k = 1}^{n - 1} lo g k < \int_{1}^{n} lo g x d x$ である。両辺に $lo g n$ を加えると $\sum_{k = 1}^{n} lo g k < \int_{1}^{n} lo g x d x + lo g n$ となる。したがって $\sum_{k = 1}^{n} lo g k < (n + 1) lo g n - n + 1$ である。以上より $n lo g n - n + 1 < k = 1 \sum n lo g k < (n + 1) lo g n - n + 1$ が示された。

(2)

$\sum_{k = 1}^{n} lo g k = lo g (n!)$ である。(1) の不等式を、正の量 $n lo g n$ で割ると

1 - \frac{1}{lo g n} + \frac{1}{n lo g n} < \frac{lo g ( n !)}{n lo g n} < 1 + \frac{1}{n} - \frac{1}{lo g n} + \frac{1}{n lo g n}

である。 $n \to \infty$ のとき両端はともに $1$ に近づくので、はさみうちにより $lim_{n \to \infty} \frac{l o g ( n !)}{n l o g n} = 1$ である。

求める極限を $L_{n}$ とおくと

lo g L_{n} = lo g ((n!)^{1/ (n l o g n)}) = \frac{lo g ( n !)}{n lo g n}

である。よって $lo g L_{n} \to 1$ であり、したがって $n \to \infty lim (n!)^{1/ (n l o g n)} = e$ である。

大阪大学 1996年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

大阪大学 1996年度
理系数学第3問