問題
を正の数として，2平面，
と2点，を考える．次の問いに答えよ．
(1) 原点の平面に関する対称点を，平面に関する対称点をとするとき，，の座標を求めよ．
(2) 直線と平面との交点がの内部(ただし，線分を含める)にあるためのの範囲を求めよ．
(3) とする．点が平面上を動き，点が平面上を動くとき，線分の長さの和の最小値とそのときの，の座標を求めよ．
方針
平面の法線ベクトルを使って、原点から平面へ下ろした垂線の足を求め、対称点を二倍の位置として出す。(2) は直線 と の交点が三角形 の範囲 に入る条件に直す。(3) は反射で折れ線 を から への折れ線に変え、直線になるときの等号条件を求める。
解答
(1)
平面 は であるから、法線ベクトルを とおける。原点からこの平面に下ろした垂線の足は、 の形である。平面の式に代入すると であり、 だから、垂線の足は である。原点の対称点はこの足を中点にする点なので
である。
同様に の法線ベクトルは であり、 なので である。
(2)
(1) より、直線 は を満たす 軸方向の直線である。したがって平面 との交点を とすると である。
三角形 は平面 上で と表される。 の 座標は正なので、必要十分条件は である。 より両辺を で割って すなわち である。よって求める範囲は である。
(3)
のとき、(1) より
である。
点 は原点 を平面 に関して対称移動した点であるから、 が 上にあるとき である。同様に、 が 上にあるとき である。したがって である。右辺は から 、 を通って へ行く折れ線の長さなので、三角不等式より である。
ここで である。等号が成り立つのは、 がこの順に一直線上に並ぶときである。直線 は である。
この直線と の交点を求める。 なので は であり、 を代入すると より である。したがって である。同様に は だから、 を代入して を得る。よって である。
以上より、最小値は で、そのとき
である。