大阪大学 1996年度理系数学第4問解答・解説

問題

中心 $O$ 半径1の円の円周上の2点を $P$ ， $Q$ とし， $∠ P O Q = θ$ $(0 < θ < \frac{π}{2})$ とする． $P$ における円の接線と直線 $O Q$ との交点を $R$ ， $P$ から $O Q$ に下ろした垂線の足を $H$ とし，弧 $P Q ⌢$ と線分 $P H$ ， $H Q$ で囲まれる部分を $D$ とする．次の問いに答えよ．

(1) $△ O P R$ の面積 $S_{1}$ と $D$ の面積 $S_{2}$ に対して $θ \to 0 lim \frac{S _{2}}{S _{1}}$ を求めよ．

(2) $O R$ を軸として $△ O P R$ を回転させてできる立体の体積 $V_{1}$ と $D$ を回転させてできる立体の体積 $V_{2}$ に対して $θ \to 0 lim \frac{V _{2}}{θ ^{2} V _{1}}$ を求めよ．

出典：大阪大学 1996年度前期日程第2次学力試験理系第4問

方針

座標を $O = (0, 0)$ 、 $Q = (1, 0)$ 、 $P = (cos θ, sin θ)$ と置く。面積は扇形から三角形を引いて $S_{2}$ を作る。体積は $△ O P R$ を二つの円すいに分け、 $D$ は $x$ 軸まわりの回転体として一変数積分で表す。最後は $1 - cos θ$ を因数として取り出して極限を評価する。

解答

(1)

座標を $O = (0, 0), Q = (1, 0), P = (cos θ, sin θ)$ とおく。点 $P$ における円の接線は $x cos θ + y sin θ = 1$ である。これと $x$ 軸との交点が $R$ なので $R = (\frac{1}{c o s θ}, 0)$ である。

したがって $△ O P R$ の底辺を $O R$ 、高さを $P$ の $y$ 座標と見ると $S_{1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{c o s θ} \cdot sin θ = \frac{1}{2} tan θ$ である。

一方、 $D$ は扇形 $O P Q$ から直角三角形 $O P H$ を除いた部分である。扇形 $O P Q$ の面積は $θ /2$ 、三角形 $O P H$ の面積は $\frac{1}{2} sin θ cos θ$ であるから $S_{2} = \frac{1}{2} (θ - sin θ cos θ)$ である。よって

\frac{S _{2}}{S _{1}} = \frac{θ - sin θ cos θ}{tan θ} = \frac{1 - \frac{s i n θ}{θ} cos θ}{\frac{t a n θ}{θ}}

である。 $θ \to 0$ のとき $sin θ / θ \to 1$ 、 $cos θ \to 1$ 、 $tan θ / θ \to 1$ なので $θ \to 0 lim \frac{S _{2}}{S _{1}} = 0$ である。

(2)

$△ O P R$ を $O R$ のまわりに回転すると、点 $P$ から $O R$ に下ろした垂線の足 $H$ を境に、二つの円すいに分かれる。共通の底面半径は $P H = sin θ$ であり、高さの和は $O H + H R = O R = \frac{1}{c o s θ}$ である。したがって

V_{1} = \frac{π}{3} \cdot sin^{2} θ \cdot \frac{1}{cos θ} = \frac{π}{3} \frac{sin ^{2} θ}{cos θ}

である。

次に $D$ を $O R$ 、すなわち $x$ 軸のまわりに回転する。 $D$ は $cos θ ≦ x ≦ 1$ で、上端が円 $y = 1 - x^{2}$ 、下端が $x$ 軸であるから $V_{2} = π \int_{c o s θ}^{1} (1 - x^{2}) d x$ である。計算すると

V_{2} = π [x - \frac{x ^{3}}{3}]_{c o s θ}^{1} = π (\frac{2}{3} - cos θ + \frac{cos ^{3} θ}{3})

である。ここで

\frac{2}{3} - cos θ + \frac{cos ^{3} θ}{3} = \frac{( 1 - cos θ ) ^{2} ( 2 + cos θ )}{3}

である。また $V_{1} = \frac{π}{3} \frac{( 1 - c o s θ ) ( 1 + c o s θ )}{c o s θ}$ である。よって

\frac{V _{2}}{θ ^{2} V _{1}} = \frac{cos θ ( 1 - cos θ ) ( 2 + cos θ )}{θ ^{2} ( 1 + cos θ )}

となる。

さらに

\frac{1 - cos θ}{θ ^{2}} = \frac{2 sin ^{2} ( θ /2 )}{θ ^{2}} = \frac{1}{2} (\frac{sin ( θ /2 )}{θ /2})^{2} \to \frac{1}{2}

である。したがって

θ \to 0 lim \frac{V _{2}}{θ ^{2} V _{1}} = 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{4}

である。

大阪大学 1996年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

大阪大学 1996年度
理系数学第4問