問題
次の2条件(イ)，(ロ)を同時にみたす整数，の組をすべて求めよ．
(イ) 2次方程式の2つの解が共に2以上の整数である．
(ロ) 不等式が成り立つ．
出典：大阪大学 1996年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第1問
方針
二つの整数解を と置き、解と係数の関係で を表す。条件 (ロ) を の不等式へ直し、 として小さい から範囲を絞る。最後に根の組から へ戻す。
解答
二つの解を とおく。条件 (イ) より、 はともに 以上の整数である。解と係数の関係から であるから である。
条件 (ロ) は である。これに 、 を代入すると すなわち となる。 は入れ替えても同じ二次方程式を与えるので、 としてよい。 のとき、(1) は より である。したがって を得る。 のとき、(1) は より である。 だから である。 とする。このとき なので、(1) から である一方、左辺は である。したがって となり、 より 、すなわち となる。これは に反する。よってこれ以上の解はない。
以上より は である。それぞれ 、 に戻すと、求める組は である。
別解。(1) を とし、両辺に を加えると となる。 より 、 は正の奇数である。 とすれば だから、候補は または だけである。これより同じ の一覧が得られる。