大阪大学 1993年度
理系数学 第5問

解答

(1)

$y=f(x)$ とおき，$r=\sqrt{x^2+y^2}$ とする。点 $P(x,y)$ から $O(0,0)$ へ向かう単位ベクトルは $\left(-\frac{x}{r},-\frac{y}{r}\right)$ であり，点 $P$ から $Q(x,y+1)$ へ向かう単位ベクトルは $(0,1)$ である。したがって，$\angle OPQ$ の内角の二等分線の方向は $\left(-\frac{x}{r},1-\frac{y}{r}\right)$ である。

この直線が曲線の法線である。まず $x\ne 0$ とすると，この法線の傾きは $\frac{1-y/r}{-x/r}=-\frac{r-y}{x}$ である。接線の傾き $f^{\prime }(x)$ は法線の傾きの負の逆数だから $f^{\prime }(x)=\frac{x}{r-y}$ である。これを有理化すると $f^{\prime }(x)=\frac{r+y}{x}$ となり，$x{f}^{\prime }(x)-y=r$ を得る。$y=f(x)$ を戻すと，求める微分方程式は $x{f}^{\prime }(x)-f(x)=\sqrt{x^2+f(x{)}^2}$ である。なお $x=0$ でも，$f(0)<0$ より左辺は $-f(0)$，右辺も $|f(0)|=-f(0)$ となるので，同じ式が成り立つ。

(2)

$g(x)=f^{\prime }(x)$ とおく。(1)を $xg(x)-f(x)=\sqrt{x^2+f(x{)}^2}$ と書く。両辺を微分すると，左辺の微分は $x{g}^{\prime }(x)$ であり，右辺の微分は $\frac{x+f(x)g(x)}{\sqrt{x^2+f(x{)}^2}}$ である。よって(1)を用いて $x{g}^{\prime }(x)=\frac{x+f(x)g(x)}{xg(x)-f(x)}$ を得る。

また，(1)を2乗すると $\{xg(x)-f(x){\}}^2=x^2+f(x{)}^2$ である。整理して $x^{2}g(x{)}^2-2xg(x)f(x)=x^2$ すなわち $2xg(x)f(x)=x^2\{g(x{)}^2-1\}$ を得る。$x\ne 0$ で $g(x)=0$ とするとこの式の右辺が $-x^2$ となり矛盾するので，$g(x)\ne 0$ である。したがって $f(x)=\frac{x\{g(x{)}^2-1\}}{2g(x)}$ と表せる。

これを $x{g}^{\prime }(x)=\frac{x+f(x)g(x)}{xg(x)-f(x)}$ に代入する。分子は $x+f(x)g(x)=x+\frac{x\{g(x{)}^2-1\}}{2}=\frac{x\{g(x{)}^2+1\}}{2}$ であり，分母は

である。よって $x{g}^{\prime }(x)=g(x)(x\ne 0)$ を得る。

(3)

(2)より，$x\ne 0$ で $x{g}^{\prime }(x)=g(x)$ である。したがって ${\left(\frac{g(x)}{x}\right)}^{\prime }=\frac{x{g}^{\prime }(x)-g(x)}{x^2}=0$ であり，$x>0$ と $x<0$ のそれぞれで $g(x)/x$ は定数である。さらに $f$ は2次の導関数をもつので，$g^{\prime }(0)=f^{\prime \prime }(0)$ が存在し，左右で定数は一致する。よってある定数 $C$ を用いて $g(x)=Cx$ と書ける。

すなわち $f^{\prime }(x)=Cx$ であるから，$f(x)=\frac{C}{2}{x}^2+D$ である。条件 $f(0)=-1$ より $D=-1$ なので $f(x)=\frac{C}{2}{x}^2-1$ となる。

これを(1)に代入する。左辺は $x{f}^{\prime }(x)-f(x)=C{x}^2-\left(\frac{C}{2}{x}^2-1\right)=1+\frac{C}{2}{x}^2$ である。したがって $1+\frac{C}{2}{x}^2=\sqrt{x^2+{\left(\frac{C}{2}{x}^2-1\right)}^2}$ がすべての $x$ で成り立つ。両辺は非負なので2乗してよく，${\left(1+\frac{C}{2}{x}^2\right)}^2=x^2+{\left(\frac{C}{2}{x}^2-1\right)}^2$ である。左辺は $1+C{x}^2+\frac{C^2}{4}{x}^4$ であり，右辺は $1+(1-C)x^2+\frac{C^2}{4}{x}^4$ である。係数を比較して $C=1-C$ より $C=\frac{1}{2}$ を得る。したがって $f(x)=\frac{x^2}{4}-1$ である。実際この関数は(1)の微分方程式を満たすので，求める関数はこれである。