問題
1からまでの番号を書いたボールが1個ずつ入った袋の中から無作為にボールを1個取り出す試行を考える．ただし，取り出したボールは番号を記録したのち袋に戻すものとする．いま，ふたりの人がいて，が5回，が1回この試行を行う．が取り出すボールの番号を試行の順にとし，が取り出すボールの番号をとするとき，次の問に答えよ．
(1) を以下の自然数とする．であり，さらにのうち少なくとも4つが以下であるという事象の確率を求めよ．
(2) のうち少なくとも4つが以下であるという事象の確率をとする．このときを求めよ．
方針
(1)は を固定し，その確率 と，5回のうち となる回数が4回または5回である確率を掛ける。(2)は から まで和を取り， を変数とするリーマン和として極限を積分に直す。極限については別解として，番号の一致が無視できる極限では の大小順位が6通り等確率になることからも求められる。
解答
(1)
となる確率は である。このとき，各 について となる確率は ， となる確率は である。取り出したボールは戻すので，5回の試行は互いに独立に扱える。
5個のうち少なくとも4個が 以下であるのは，ちょうど4個が 以下である場合と，5個すべてが 以下である場合である。したがって
である。すなわち
である。
(2)
の値で場合分けすれば，求める確率は である。よって(1)より
である。
これは区間 における関数 のリーマン和である。したがって である。積分すると となる。よって である。
別解。極限だけを求めるなら，6個の値 の大小順位で考えることもできる。2つの値が一致する確率は，任意の組について であり，組は 個だから，一致が少なくとも1組起こる確率は高々 であり， で0に近づく。
一致がないとき，6個の値の大小順における の順位は6通りが同じ確率で起こる。条件「 のうち少なくとも4つが 以下」は， より大きい が0個または1個であること，つまり が6個の中で最大または2番目に大きいことと同じである。したがって極限は である。