大阪大学 1993年度
理系数学 第2問

解答

(1)

$AB$ の中点を $O$ とする。$\angle APB=90^{\circ }$ は $AB$ を直径とする球面上の条件であるから，$\angle APB>90^{\circ }$ は中心 $O$，半径1の球の内部に入る条件である。面積には境界の開閉は影響しないので，以下では境界も含めて面積を計算する。

面 $ABC$ 上で $O$ を原点，$AB$ を $x$ 軸にとり，$A(-1,0),B(1,0),C(0,\sqrt{3})$ とおく。この面での $M$ は，円 $x^2+y^2<1$ と正三角形 $ABC$ の共通部分である。

円は辺 $AC$，$BC$ とそれぞれの中点で交わる。これらを $E,F$ とすると

である。したがって図示すべき部分は，辺 $AB$，線分 $AE,BF$，および円弧 $EF$ に囲まれた部分である。ただし円弧 $EF$ は $C$ 側にふくらむ弧である。

面積は，台形 $ABFE$ と弦 $EF$ の上側の円弧部分に分ける。台形 $ABFE$ の面積は $\frac{2+1}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$ である。扇形 $EOF$ の中心角は $60^{\circ }$ だから，円弧部分の面積は $\frac{\pi }{6}-\frac{\sqrt{3}}{4}$ である。よって，$△ABC$ 上にある $M$ の部分の面積は

である。

(2)

面 $ABC$ と面 $ABD$ は $AB$ を含むので，どちらも(1)と同じ面積 $\frac{\pi }{6}+\frac{\sqrt{3}}{2}$ をもつ。

次に面 $ACD$ を考える。$O$ から面 $ACD$ に下ろした垂線の足を $H$ とする。1辺2の正四面体の高さは $\frac{2\sqrt{6}}{3}$ であり，$O$ は $AB$ の中点だから，$OH=\frac{\sqrt{6}}{3}$ である。よって，中心 $O$，半径1の球を面 $ACD$ で切った円の半径は $r=\sqrt{1-O{H}^2}=\sqrt{1-\frac{2}{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ である。

また $AO=1$ なので $AH=\sqrt{A{O}^2-O{H}^2}=\frac{1}{\sqrt{3}}=r$ である。この断面円は辺 $AC$，$AD$ の中点を通る。これらを $E,F$ とすると，求める部分は扇形 $EHF$ と三角形 $AHE,AHF$ を合わせた図形である。ここで中心角 $\angle EHF$ は $120^{\circ }$ であるから，

である。面 $BCD$ でも同じ面積が現れる。

したがって $M$ の面積は

である。