問題
負でない整数の組，，，が を満たすとき，以下のことを示せ．
(1) に対し，は2で割り切れる．
(2) を9で割った余りはのいずれかである．
(3) は18で割り切れる．
出典：大阪大学 1993年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第1問
方針
(1)は， が偶数なら積が偶数， が奇数なら次の項 が偶数になる，という偶奇の連鎖で示す。(2)は整数の3乗を9で割った余りが に限られることから， の余りを決める。(3)は の余り を順に追い， のどれかが9の倍数になることを示す。最後に(1)から2の倍数であることを合わせ， と が互いに素であることを使う。
解答
(1)
が偶数なら，積 はただちに偶数である。 が奇数なら， も奇数であるから は偶数である。したがって， が偶数の場合も奇数の場合も，少なくとも一方の因数が偶数になる。よって が に対して成り立つ。
(2)
整数を9で割った余りだけを見ればよい。余り の3乗を9で割った余りは，必ず のいずれかである。実際，3の倍数の3乗は9の倍数であり，それ以外の余りを調べても または になる。
したがって を9で割った余りは を9で割った余りである。すなわち， を9で割った余りは のいずれかである。
(3)
(2)より， を9で割った余りは のいずれかである。 のときは， 自身が9の倍数なので， は9で割り切れる。 のときは であり，さらに である。したがって が9の倍数である。 のときは である。したがって が9の倍数である。
以上の3場合すべてで， は9で割り切れる。また，(1)を に用いれば は2で割り切れるので， も2で割り切れる。 と は互いに素であるから， は で割り切れる。