問題
行列に対して，とおく．
(1) を示せ．ただしである．
(2) のとき，を満たすような数，が存在することを示せ．
(3) 2次の正方行列，がおよびを満たし，さらにであるようなが存在するとき，が成り立つことを示せ．
出典：大阪大学 1993年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第3問
方針
(1)は成分を直接計算し， の各成分が と一致することを示す。(2)は(1)を使って， と表せるなら次の指数でも同じ形で表せることを帰納法で示す。(3)では ， により係数 が で共通になる点を使う。さらに ， から を帰納的に示し， に帰着する。
解答
(1)
とする。直接計算すると
である。一方，， より
である。したがって が成り立つ。
(2)
のときは，(1)より であるから，， とすればよい。
ある で と表せたとする。両辺に をかけると である。(1)を代入して となる。よって とおけば， の場合も同じ形で表せる。数学的帰納法により，すべての についてそのような数 が存在する。
(3)
共通の値を とおく。(2)の作り方を見ると，係数は から始まり， で定まる。したがって， に対しても に対しても，同じ を使うことができる。
ここで ， である。初めに である。もし ， なら である。よって帰納的に，すべての で が成り立つ。
いま となる がある。上の表示を に用いると である。両式の差を取ると である。左辺は0であり，しかも だから となる。したがって である。