問題
図のような正方形の4頂点，，，を次の規則で移動する動点がある．さいころを振って1の目が出れば反時計まわりに隣の頂点に移動し，1以外の目が出れば時計まわりに隣の頂点に移動する．は最初にあるものとし，回移動した後の位置を，，とする．である確率をとおく．
(1) を求めよ．
(2) をを用いて表せ．
(3) を求めよ．
方針
1回ごとの4頂点ではなく，2回移動を一まとまりにして考える。偶数回後には または向かいの頂点 にしかいない。2回で同じ頂点に戻る確率と向かいの頂点に移る確率を計算し， 回後に にいる確率 の漸化式を立てる。最後は固定値 からの差を取って，等比的に へ近づくことを示す。
解答
(1)
2回移動した後に に戻るには，時計まわりの移動と反時計まわりの移動が1回ずつ起こればよい。反時計まわりに進む確率は ，時計まわりに進む確率は であるから である。したがって である。
(2)
2回移動したときの結果を調べる。同じ頂点に戻るのは，時計まわりと反時計まわりが1回ずつ起こる場合である。したがって，その確率は である。
一方，向かいの頂点に移るのは，同じ向きに2回続けて進む場合である。したがって，その確率は
である。
偶数回移動した後には， は または向かいの頂点 にいる。 回後に にいる確率が なので， 回後に にいる確率は である。 回後に にいて，その後2回で同じ頂点に戻る場合， となる。また， 回後に にいて，その後2回で向かいの頂点に移る場合も となる。よって である。整理して
を得る。したがって である。
(3)
(2)の漸化式から，極限が存在するとすれば は を満たす。これを解くと より である。
実際にこの値へ近づくことを確認する。漸化式から
である。したがって である。比の絶対値は だから右辺は に近づく。よって である。