大阪大学 1991年度
理系数学 第4問

解答

(1)

点 $P$ の座標は $P=(x,f(x))$ である。原点 $O$ と $P$ を結ぶ直線の傾きは $\frac{f(x)}{x}$ だから $\tan \theta =\frac{f(x)}{x}$ である。$0<\theta <\pi /4$ より $0<\frac{f(x)}{x}<1$ である。

点 $P$ における接線が $x$ 軸となす角は $2\theta$ なので，接線の傾きは $f^{\prime }(x)=\tan 2\theta$ である。倍角公式より $\tan 2\theta =\frac{2\tan \theta }{1-{\tan }^2\theta }$ であるから $f^{\prime }(x)=\frac{2\frac{f(x)}{x}}{1-{\left(\frac{f(x)}{x}\right)}^2}$ となる。分母分子を整理して $f^{\prime }(x)=\frac{2xf(x)}{x^2-f(x{)}^2}$ を得る。

(2)

$u=\frac{f(x)}{x}$ とおく。すると $f(x)=xu$ であり，$f^{\prime }(x)=u+x{u}^{\prime }$ である。(1) の式は $u+x{u}^{\prime }=\frac{2u}{1-u^2}$ となる。したがって $x{u}^{\prime }=\frac{2u}{1-u^2}-u=\frac{2u-u(1-u^2)}{1-u^2}=\frac{u(1+u^2)}{1-u^2}$ である。

一方，$g(x)=u+\frac{1}{u}$ であるから $g^{\prime }(x)=u^{\prime }\left(1-\frac{1}{u^2}\right)$ である。上で求めた $u^{\prime }$ を代入すると $g^{\prime }=\frac{u(1+u^2)}{x(1-u^2)}\cdot \frac{u^2-1}{u^2}=-\frac{1+u^2}{xu}$ である。ところが $\frac{1+u^2}{u}=u+\frac{1}{u}=g$ だから $g^{\prime }(x)=-\frac{g(x)}{x}$ となる。

(3)

(2)の微分方程式から $g^{\prime }(x)=-\frac{g(x)}{x}$ である。したがって $x{g}^{\prime }(x)+g(x)=0$ となり，$(xg(x){)}^{\prime }=0$ である。よって，ある定数 $C$ を用いて $xg(x)=C$ と書ける。すなわち $g(x)=\frac{C}{x}$ である。

定数 $C$ を決める。$u=f(x)/x$ とおくと，(1) の式は $f^{\prime }(x)=\frac{2u}{1-u^2}$ である。$0<u<1$ であり，仮定より $x\to 1$ のとき $f^{\prime }(x)\to \infty$ だから，分母が $0$ に近づく必要がある。したがって $u\to 1$ である。よって $g(x)=u+\frac{1}{u}\to 2$ となる。さらに $x\to 1$ であるから $C={\lim }_{x\to 1}xg(x)=2$ である。

したがって $\frac{f(x)}{x}+\frac{x}{f(x)}=\frac{2}{x}$ である。両辺に $xf(x)$ を掛けると $f(x{)}^2+x^2=2f(x)$ であり，$x^2+(f(x)-1{)}^2=1$ となる。よって $f(x)=1\pm \sqrt{1-x^2}$ である。

最後に枝を選ぶ。$0<\theta <\pi /4$ より $0<f(x)<x$ である。$0<x<1$ では $1+\sqrt{1-x^2}>1>x$ なので，これは不適である。したがって $f(x)=1-\sqrt{1-x^2}(0<x<1)$ である。実際この関数では $0<f(x)<x$ が成り立ち，$x\to 1$ で $f^{\prime }(x)=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\to \infty$ となる。