大阪大学 1991年度
理系数学 第3問

解答

(1)

円板 $D$ の中心を $C$ とする。はじめ $C$ は $(1-r,0)$ にあり，原点を中心とする半径 $1-r$ の円を反時計まわりに進む。長さ $\theta$ だけころがったとき，外側の円の半径は $1$ なので，接点に対応する中心角は $\theta$ である。したがって $C=((1-r)\cos \theta ,(1-r)\sin \theta )$ である。

次に，$C$ から見た点 $P$ の相対位置を考える。はじめ $P$ は $C$ から右向きに距離 $a$ の位置にある。円板がすべらずに内側をころがるので，円板の円周上で進んだ長さは $(1-r)\theta$ であり，これが半径 $r$ の円板の自転による弧の長さに等しい。したがって自転角の大きさは $\frac{(1-r)\theta }{r}$ である。内側でころがるため自転の向きは時計まわりなので，相対ベクトルは $\left(a\cos \frac{1-r}{r}\theta ,-a\sin \frac{1-r}{r}\theta \right)$ となる。

よって点 $P$ の座標は

である。

(2)

点 $P$ の位置を複素数の形で見ると，(1) は $z=(1-r)e^{i\theta }+a{e}^{-i\frac{1-r}{r}\theta }$ と同じ内容である。初期位置は $z_0=1-r+a$ である。

点 $P$ が初期位置に戻るなら $(1-r)e^{i\theta }+a{e}^{-i\frac{1-r}{r}\theta }=1-r+a$ である。左辺の絶対値は三角不等式より $\left|(1-r)e^{i\theta }+a{e}^{-i\frac{1-r}{r}\theta }\right|\leqq (1-r)+a$ であるが，右辺の絶対値はちょうど $(1-r)+a$ である。等号が成り立つには，二つのベクトルがともに正の実数方向を向く必要がある。したがって $e^{i\theta }=1,e^{-i\frac{1-r}{r}\theta }=1$ でなければならない。

これは，ある正の整数 $m$ と整数 $l$ を用いて $\theta =2\pi m,\frac{1-r}{r}\theta =2\pi l$ と書けることと同じである。したがって $\frac{1-r}{r}=\frac{l}{m}$ が有理数であることが必要である。

逆に，$\frac{1-r}{r}$ が有理数なら，$\frac{1-r}{r}=l/m$ と書けるので，$\theta =2\pi m$ とすれば $e^{i\theta }=1,e^{-i\frac{1-r}{r}\theta }=1$ となり，点 $P$ は初期位置に戻る。

よって条件は $\frac{1-r}{r}\in \mathbb{Q}$ である。これは $\frac{1}{r}-1\in \mathbb{Q}$ と同値なので，$r$ が有理数であることと同値である。したがって求める条件は $r\text{ が有理数であること}$ である。

(3)

$r=\frac{1}{2}$ のとき，$\frac{1-r}{r}=1$ である。したがって (1) より $x=\frac{1}{2}\cos \theta +a\cos \theta =\left(a+\frac{1}{2}\right)\cos \theta$ であり，$y=\frac{1}{2}\sin \theta -a\sin \theta =\left(\frac{1}{2}-a\right)\sin \theta$ である。 $0<a<\frac{1}{2}$ のときは，$\theta$ を消去して

を得る。これは原点を中心とし，座標軸を軸にもつ楕円である。横方向の半径は $a+1/2$，縦方向の半径は $1/2-a$ である。 $a=\frac{1}{2}$ のときは $y=0,x=\cos \theta$ であるから，軌跡は $-1\leqq x\leqq 1,y=0$ すなわち $x$ 軸上の線分である。