大阪大学 1991年度理系数学第2問解答・解説

問題

原点を通らない直線 $l : y = p x + 1$ と原点を通る直線 $l^{'} : y = q x$ とがある．行列 $A = (a c b d)$ によって表される1次変換 $f$ は $l$ 上の点を $l^{'}$ 上の点に移すものとする． $A^{2}$ が零行列でないとき， $f$ による $l^{'}$ の像は $l^{'}$ であることを示せ．

出典：大阪大学 1991年度前期日程第2次学力試験理系第2問

方針

直線 $l$ 上の点を $(x, p x + 1)$ とおき，それを $A$ で移した点が常に $l^{'} : y = q x$ 上にある条件を $x$ の恒等式として比較する。定数項から $d = q b$ ，係数比較から $c = q a$ が出るので， $A$ の第2行は第1行の $q$ 倍になる。そこから $A^{2} = (a + q b) A$ を示し， $A^{2} \neq = 0$ により $a + q b \neq = 0$ として， $l^{'}$ 上の任意の点が再び $l^{'}$ 上の任意の点として得られることを示す。

解答

直線 $l : y = p x + 1$ 上の点は $(x, p x + 1)$ と表される。これを $A$ で移すと

A (x p x + 1) = ((a + b p) x + b (c + d p) x + d)

である。この点が常に直線 $l^{'} : y = q x$ 上にあるから，すべての実数 $x$ について $(c + d p) x + d = q {(a + b p) x + b}$ が成り立つ。

定数項を比較して $d = q b$ である。また $x$ の係数を比較すると $c + d p = q (a + b p)$ である。ここへ $d = q b$ を代入して $c + q b p = q a + q b p$ となるので $c = q a$ を得る。したがって

A = (a q a b q b)

である。

この形を用いて $A^{2}$ を計算する。

A^{2} = (a q a b q b) (a q a b q b)

であり，成分を計算すると

A^{2} = (a^{2} + q ab q a^{2} + q^{2} ab ab + q b^{2} q ab + q^{2} b^{2}) = (a + q b) (a q a b q b)

である。よって $A^{2} = (a + q b) A$ が成り立つ。

もし $a + q b = 0$ ならば $A^{2} = (a + q b) A = 0$ となり， $A^{2}$ は零行列になる。仮定では $A^{2}$ は零行列でないから $a + q b \neq = 0$ である。

いま $l^{'}$ 上の点は $(x, q x) = x (1, q)$ と書ける。これを $A$ で移すと

A (x q x) = x (a + q b q a + q^{2} b) = x (a + q b) (1 q)

である。これは $l^{'}$ 上の点である。

さらに $a + q b \neq = 0$ なので， $t (1, q)$ という $l^{'}$ 上の任意の点に対して $x = \frac{t}{a + q b}$ と選べば

A (x q x) = t (1 q)

となる。したがって， $f$ により $l^{'}$ から得られる点全体は $l^{'}$ である。

大阪大学 1991年度理系数学 第2問

問題

方針

解答

大阪大学 1991年度
理系数学第2問